第216题小R的蛋糕分享问题描述小R手里有一个大小为 n 行 m 列的矩形蛋糕，每个小正方形区域都有一个代表美味度的

问题描述

小R手里有一个大小为 n 行 m 列的矩形蛋糕，每个小正方形区域都有一个代表美味度的整数。小R打算切割出一个正方形的小蛋糕给自己，而剩下的部分将给小S。她希望两人吃的部分的美味度之和尽量接近。

我们定义小R吃到的部分的美味度之和为 s_1，而小S吃到的部分的美味度之和为 s_2，请你帮助小R找到一个切割方案，使得 |s_1 - s_2| 的值最小。

解题思路

1. 问题分解

要解决问题，我们需要：

快速计算正方形区域的美味度之和：通过前缀和预处理，快速获得任意子矩形的美味度总和；
枚举所有可能的正方形切割方式：尝试每一种正方形切割，并计算剩余部分的美味度，找到最优解；
更新最小差值：逐步记录最优解。

根据这个思路，可以将问题拆分为以下几部分：

通过切割出一个正方形子矩形计算其美味度和 $s_1$ 。
计算剩余部分的美味度和 $s_2 = \text{total\_sum} - s_1$ 。
找到使 $|s_1 - s_2|$ 最小的切割方案。

2. 前缀和优化

为了快速计算任意子矩形的美味度和，使用 前缀和数组，定义如下：

${prefix\_sum}[i][j] = \text{从矩形左上角}(1,1)\text{到}(i,j)\text{的所有元素之和}$

前缀和公式：

${prefix\_sum}[i][j] = a[i-1][j-1] + {prefix\_sum}[i-1][j] + {prefix\_sum}[i][j-1] - {prefix\_sum}[i-1][j-1]$

使用前缀和，可以快速计算任意矩形区域的美味度和。例如，子矩形的左上角为 $(x_1, y_1)$ ，右下角为 $(x_2, y_2)$ ，其总和为：

${sum} = {prefix\_sum}[x_2][y_2] - {prefix\_sum}[x_1-1][y_2] - {prefix\_sum}[x_2][y_1-1] + {prefix\_sum}[x_1-1][y_1-1]$

3. 枚举正方形切割

枚举所有可能的正方形切割方式：

正方形左上角坐标：枚举 $(i, j)$ ，其中 $1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m$ 。
正方形边长 $l$ ：枚举满足正方形范围不超出矩形边界的边长 $l$ 。对每个左上角 $(i, j)$ ，最大边长为 $\min(n-i+1, m-j+1)$ 。
计算子矩形美味度：利用前缀和公式计算正方形区域的美味度 $s_1$ ，剩余部分的美味度为 $s_2 = \text{total\_sum} - s_1$ 。
更新最小差值：记录 $|s_1 - s_2|$ 的最小值。

目标是找到使 $|s_1 - s_2|$ 最小的切割方案。

4. 实现细节

代码

def solution(n, m, a):
    # 构造前缀和
    prefix_sum = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            prefix_sum[i][j] = (
                a[i - 1][j - 1] +
                prefix_sum[i - 1][j] +
                prefix_sum[i][j - 1] -
                prefix_sum[i - 1][j - 1]
            )
    
    # 总美味度
    total_sum = prefix_sum[n][m]
    min_diff = float('inf')  # 初始化最小差值

    # 枚举所有正方形子矩形
    for i in range(1, n + 1):  # 左上角行号
        for j in range(1, m + 1):  # 左上角列号
            for l in range(1, min(n - i + 1, m - j + 1) + 1):  # 正方形边长
                # 子矩形右下角
                x2, y2 = i + l - 1, j + l - 1
                # 计算子矩形的美味度和 s1
                s1 = (
                    prefix_sum[x2][y2]
                    - prefix_sum[i - 1][y2]
                    - prefix_sum[x2][j - 1]
                    + prefix_sum[i - 1][j - 1]
                )
                # 剩余部分的美味度和
                s2 = total_sum - s1
                # 更新最小差值
                min_diff = min(min_diff, abs(s1 - s2))

    return min_diff

复杂度分析

前缀和计算：
构造前缀和数组需要 $O(n \times m)$ 时间。
枚举正方形切割：
枚举左上角位置 $(i, j)$ 的复杂度为 $O(n \times m)$ 。对于每个位置，正方形边长最多为 $min(n, m)$ ，因此复杂度为：

$O(n \times m \times \min(n, m))$
总复杂度：

$O(n \times m + n \times m \times \min(n, m)) \approx O(n^2 \times m)$
空间复杂度：
前缀和数组需要 $O(n \times m)$ 空间。

测试用例

示例 1

输入：

$n = 3, m = 3, a = [[1, 2, 3], [2, 3, 4], [3, 2, 1]]$

输出：1

示例 2

输入：

$n = 4, m = 4, a = [[1, 2, 3, 4], [4, 3, 2, 1], [1, 2, 3, 4], [4, 3, 2, 1]]$

输出：2

示例 3

输入：

$n=2$ , $m=2$ , $a=[[5,5],[5,5]]$

输出：10

总结

通过前缀和优化和暴力枚举正方形，问题得以高效解决。虽然复杂度较高，但在数据范围内可以运行。进一步优化可以考虑动态规划或限制搜索空间以减少枚举次数。

第216题 小R的蛋糕分享