考察算法：动态规划
问题描述
小U计划进行一场从地点A到地点B的徒步旅行，旅行总共需要 M 天。为了在旅途中确保安全，小U每天都需要消耗一份食物。在路程中，小U会经过一些补给站，这些补给站分布在不同的天数上，且每个补给站的食物价格各不相同。
小U需要在这些补给站中购买食物，以确保每天都有足够的食物。现在她想知道，如何规划在不同补给站的购买策略，以使她能够花费最少的钱顺利完成这次旅行。
M：总路程所需的天数。N：路上补给站的数量。p：每个补给站的描述，包含两个数字A和B，表示第A天有一个补给站，并且该站每份食物的价格为B元。
保证第0天一定有一个补给站，并且补给站是按顺序出现的。
算法思路分析
首先我们对于要如何购买其实有两种选择，其一就是购买之后去下一站购买，其二就是在本站购买一定数量的食物，然后在n站之后（没有食物时）在该站购买新的食物。我们不难发现，如果要使得花费最少，我们需要在花费尽量少的站购买尽可能多（直到遇到比起本站食物价格还要低）的食物，然后在该站再次购买食物。
这个问题是关于小U徒步旅行中的食物补给站花费优化。整体思路是通过动态规划的方式，逐步计算到达每一天的最小花费，考虑每个补给站的情况，更新后续天数的最小花费，最终得到完成整个旅行（第M天）的最小花费。下面我会通过对于代码的逐步分析给大家阐述具体应该如何实现。
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- 初始化:我们先创建一个dp数组用于存储到达每一天的最小花费，(ps:很多初学动态规划的同学比较容易把dp数组都初始化为0，这点希望大家能够根据题意来进行合理的初始化)，由于我们需要求解最小的花费，因此在初始化dp数组的时候我们把它赋值为
INT_MAX，这样可以方便我们后续操作。
- 初始化:我们先创建一个dp数组用于存储到达每一天的最小花费，(ps:很多初学动态规划的同学比较容易把dp数组都初始化为0，这点希望大家能够根据题意来进行合理的初始化)，由于我们需要求解最小的花费，因此在初始化dp数组的时候我们把它赋值为
std::vector<int> dp(m + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
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- 动态规划主体算法：
- 首先我们需要通过循环遍历数组中的每个元素
- 获取该补给站的天数
day = p[i][0]和价格cost = p[i][1]。 - 内层循环从该补给站所在的天数
day开始，一直到旅行的总天数m。如果dp[day]不等于INT_MAX，表示该天是可达的（已经计算出到达该天的花费），那么就更新dp[j]的值。更新的逻辑是dp[j] = std::min(dp[j], dp[day]+(j - day)*cost);，这里是比较当前的dp[j]（之前计算得到的到达第j天的最小花费）和从day天到达第j天（需要购买j - day份食物，每份食物价格为cost）的花费加上到达day天的花费（dp[day]）中的较小值。
for (int i = 0; i < n; ++i) {
int day = p[i][0];
int cost = p[i][1];
// 更新从该天开始到最后一天的最小花费
for (int j = day; j <= m; ++j) {
if (dp[day]!= INT_MAX) {
// 确保该天可达
dp[j] = std::min(dp[j], dp[day] + (j - day) * cost);
}
}
}
完整代码如下（仅供参考）：
#include <iostream>
#include <vector>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int solution(int m, int n, std::vector<std::vector<int>> p) {
std::vector<int> dp(m + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
// 遍历每个补给站
for (int i = 0; i < n; ++i) {
int day = p[i][0];
int cost = p[i][1];
// 更新从该天开始到最后一天的最小花费
for (int j = day; j <= m; ++j) {
if (dp[day]!= INT_MAX) {
// 确保该天可达
dp[j] = std::min(dp[j], dp[day] + (j - day) * cost);
}
}
}
return dp[m];
}
int main() {
// Add your test cases here
std::cout << (solution(5, 4, {{0, 2}, {1, 3}, {2, 1}, {3, 2}}) == 7);
return 0;
}
总结：通过这种动态规划的方法，通过逐步构建子问题的最优解，最终得到全局最优解。通过动态规划的方法避免了暴力解法的复杂性，能够有效的节省是空间复杂度。通过本道问题的解析，相信大家对于动态规划已经有了一定的理解，在这里给大家推荐一道动态规划比较经典的题目，用最小花费爬楼梯，主题思路与本题类似，但是思路稍微有一点点改变。
感谢大家的观看，若有不足请不吝赐教。
