数值操作的期望计算
小R有两个正整数aa和bb，她将随机选择其中一个数并将其乘以22。这个操作会进行两次，操作后的两个数之和会有所变化。小R想知道，操作结束后，两个数之和的期望值是多少？
例如：如果 a=3a=3 和 b=3b=3，那么有 1/21/2 的概率两数之和为 1212，1/21/2 的概率两数之和为 1515。因此，期望值为 13.513.5。
测试样例
样例1：
输入：
a = 3 ,b = 3
输出：'13.50'
样例2：
输入：
a = 5 ,b = 7
输出：'27.00'
样例3：
输入：
a = 1 ,b = 1
输出：'4.50'
代码实现
def solution(a: int, b: int) -> str:
# 期望值公式
expected_value = 9 * (a + b) / 4
return f"{expected_value:.2f}"
if __name__ == '__main__':
print(solution(3, 3) == '13.50')
print(solution(5, 7) == '27.00')
print(solution(1, 1) == '4.50')
思路解析
-
操作过程：
- 首先，选择
a或b之一进行乘以2操作。假设这个操作结束后我们得到了新的两个数a'和b'。 - 该操作会随机进行两次，因此最终的结果会受到每次选择的影响。
- 首先，选择
-
计算期望值的基本思路：
-
假设初始状态为
(a, b)。 -
第一次选择：
- 以
1/2的概率选择a或者选择b。选择a时，a变为2a，选择b时，b变为2b。
- 以
-
第二次选择：
- 选择的规则与第一次相同，随机选择一个数并将其乘以
2。
- 选择的规则与第一次相同，随机选择一个数并将其乘以
-
-
状态转移：
-
在两次操作后，可能的结果有四种组合：
- 第一次选
a，第二次选a：即(2a, 2b) - 第一次选
a，第二次选b：即(2a, 2b) - 第一次选
b，第二次选a：即(2a, 2b) - 第一次选
b，第二次选b：即(2a, 2b)
- 第一次选
-
-
期望值计算：
- 由于我们随机选择两次操作，因此期望值就是以下组合的平均值：
公式推导：
对于上述情况，可以将得到的 a 和 b 进行求平均
小F是A市的市长，正在计划在A市新建一个火车站以方便市民的日常出行。市区内的街道布局十分规整，形成网格状。从一个位置[x1, y1]到另一个位置[x2, y2]的距离计算方法为 |x1 - x2| + |y1 - y2|，即曼哈顿距离。
在初步考察后，市政府列出了M个可能的火车站建设点。为了使得市民到火车站的总旅行时间最短，小F希望选出一个最优位置作为火车站的地址。
请你帮助小F计算出哪一个位置最适合建设新火车站。
N: 市民的总人数。M: 可建设火车站的备选位置数。citizens: 一个列表，每个元素是一个元组[x_i, y_i]，表示第i位市民的居住位置。locations: 一个列表，每个元素是一个元组[p_i, q_i]，表示第i个备选的火车站位置。
如果有多个火车站最优，那么选择第一次出现的那个。
测试样例
样例1：
输入：
n = 4,m = 3,citizens = [[-1, -1], [-1, 1], [1, -1], [1, 1]],locations = [[3, 2], [1, 0], [0, 0]]
输出：[1, 0]
样例2：
输入：
n = 2,m = 2,citizens = [[0, 0], [0, 4]],locations = [[0, 2], [0, 3]]
输出：[0, 2]
样例3：
输入：
n = 3,m = 1,citizens = [[10, 10], [20, 20], [30, 30]],locations = [[15, 15]]
输出：[15, 15]
样例4：
输入：
n = 5,m = 3,citizens = [[1, 2], [3, 4], [5, 6], [7, 8], [9, 10]],locations = [[4, 5], [6, 7], [8, 9]]
输出：[4, 5]
样例5：
输入：
n = 6,m = 2,citizens = [[10, 10], [20, 20], [30, 30], [40, 40], [50, 50], [60, 60]],locations = [[35, 35], [45, 45]]
输出：[35, 35]
# 初始化最小总旅行时间和最优火车站的位置
min_distance = float('inf')
best_location = None
# 遍历所有备选的火车站位置
for loc in locations:
total_distance = 0
# 计算当前火车站位置到所有市民的曼哈顿距离之和
for citizen in citizens:
total_distance += abs(citizen[0] - loc[0]) + abs(citizen[1] - loc[1])
# 如果当前火车站位置的总旅行时间更小，更新最优位置
if total_distance < min_distance:
min_distance = total_distance
best_location = loc
return best_location
-
曼哈顿距离： 曼哈顿距离公式是： [ \text{distance}(x_1, y_1, x_2, y_2) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| ] 其中，((x_1, y_1)) 是市民的坐标，((x_2, y_2)) 是备选的火车站坐标。这个距离反映了在网格状的城市街道上，从一个位置到另一个位置的最短路径。
-
目标： 选出一个备选火车站，使得所有市民到这个火车站的曼哈顿距离之和最小。
-
计算步骤：
- 对每个备选位置（假设为 ([p, q])），我们需要计算所有市民到这个位置的曼哈顿距离之和。
- 对比每个位置的总距离，选择最小的那个。
-
细节：
- 如果多个位置的总距离相同，我们选择第一个出现的备选位置。
- 由于每个火车站的位置只需要遍历一次所有市民，因此时间复杂度为 (O(n \times m))，其中 (n) 是市民数量，(m) 是备选火车站的位置数量。
解决方案的步骤
- 初始化一个变量
min_distance来记录当前最小的总距离，将其设置为一个非常大的数。 - 初始化
best_location来记录最优位置的坐标。 - 遍历所有备选的火车站位置，对每个位置计算所有市民到这个位置的曼哈顿距离之和。
- 如果某个备选位置的总曼哈顿距离小于当前的最小值，就更新最小值和最优位置。
- 最终返回最优的火车站位置。
