和的逆运算 | 豆包MarsCode AI刷题本题的目标是从一组整数中恢复出原始的数字。这些整数是通过将原始数字两两相加

本题的目标是从一组整数中恢复出原始的数字。这些整数是通过将原始数字两两相加得到的，并且提供的和已经被排序好。我们的任务是根据这些和来推算出原始数字。

题目分析

假设我们有 n 个原始数字 x1, x2, ..., xn，并且我们已知这些数字的所有两两和，即 x1+x2, x1+x3, ..., xn-1+xn。这些和的总数是 n * (n-1) / 2 个，因此，我们可以根据这些和来推算出原始的数字。

基本步骤：

排序和数组：由于题目给定的和数组已经是排序的，我们可以利用这一点，使得计算过程更加高效。
推算前三个数字：假设我们已经知道了原始的前三个数字 x1, x2, x3，那么我们就可以推算出剩余的数字。通过构造一些基本的方程（例如 x1 + x2 = a，x1 + x3 = b，x2 + x3 = c），我们可以通过简单的数学推理求得 x1, x2, x3。
利用和的计数恢复原始数字：利用推算出的前三个数字，我们可以逐步恢复出剩余的数字。恢复的过程就是从和数组中逐步去除已经使用过的和，最终得到原始数字。
验证：恢复出的数字最终需要经过验证，确保所有的两两和都能与题目给出的和数组匹配。

解决方案解析

我们将按照以下步骤来实现解题过程：

输入的和数组已经是排序好的。首先，我们要计算所有可能的数字对和的总数，确保输入的和数组长度与预期的一致。如果不一致，直接返回“不可能”。
从最小的和推算出前三个数字。根据数学推理，前三个数字的和是可以从前几个最小的和中推算出来的。通过解方程可以得到这三个数字。
利用字典计数。我们可以使用字典（Counter）来存储和数组的各个和的出现次数，逐步去除已知的和。
恢复剩余的数字。逐步从和数组中去除每个和，推算出剩余的数字。
最终验证。恢复出的数字需要重新计算其两两和，并与输入的和数组进行比较。如果一致，则说明恢复成功。

下面是代码的实现：

def solution(n, sums):
    sums.sort()
    
    total_pairs = n * (n - 1) // 2
    if len(sums) != total_pairs:
        return "Impossible"

    # Step 3: Find the original numbers
    for k in range(2, len(sums)):
        # If we denote the numbers as x1, x2, ..., xn
        # The first three smallest sums should correspond to:
        a = sums[0]
        b = sums[1]
        c = sums[k]
        
        # From the above equations, we can derive:
        x1 = (a + b - c) // 2
        x2 = (a + c - b) // 2
        x3 = (b + c - a) // 2
        
        if (a + b - c) % 2 != 0 or (a + c - b) % 2 != 0 or (b + c - a) % 2 != 0:
            continue
        original_numbers = [x1, x2, x3]
        from collections import Counter
        sum_count = Counter(sums)
        
        for i in range(3):
            for j in range(i + 1, 3):
                sum_to_remove = original_numbers[i] + original_numbers[j]
                if sum_count[sum_to_remove] > 0:
                    sum_count[sum_to_remove] -= 1

        remaining_numbers = []
        for num in range(3, n):
            for sum_key in sum_count:
                if sum_count[sum_key] > 0:
                    x4 = sum_key - original_numbers[0]
                    remaining_numbers.append(x4)
                    for k in range(len(original_numbers)):
                        sum_to_remove = original_numbers[k] + x4
                        if sum_count[sum_to_remove] > 0:
                            sum_count[sum_to_remove] -= 1
                        else:
                            break
                    break
        
        original_numbers.extend(remaining_numbers)
        
        final_sums = []
        for i in range(n):
            for j in range(i + 1, n):
                final_sums.append(original_numbers[i] + original_numbers[j])
        
        final_sums.sort()
        if final_sums == sums:
            return ' '.join(map(str, sorted(original_numbers)))

    return "Impossible"

代码解析

排序和数组：我们首先对输入的和数组进行排序。排序后，和数组中的最小元素必定是最小的数字对的和，因此排序能够帮助我们更方便地找到这些和并进行推算。
推算前三个数字：我们假设前三个数字的和是通过前几个和来推算的，利用 x1 + x2, x1 + x3, x2 + x3 这三个方程，可以通过简单的数学推导来获得 x1, x2, x3。
使用字典进行计数：我们通过 Counter 来统计和数组中每个和的出现次数，并逐步去除已经使用过的和。
恢复剩余数字：在推算出前三个数字之后，我们可以逐步推算出剩余的数字，并使用和数组来验证每一步推算的正确性。
最终验证：在恢复出所有原始数字之后，我们需要重新计算这些数字的所有两两和，并与输入的和数组进行比较。如果两者一致，则返回结果，否则返回 "Impossible"。

复杂度分析

时间复杂度：主要的时间开销来自于对和数组的处理。排序的时间复杂度是 O(m log m)，其中 m 是和数组的长度。对于每个恢复的数字，我们需要遍历和数组并进行查找和删除操作。总体时间复杂度为 O(m log m)，其中 m = n * (n - 1) / 2。
空间复杂度：我们使用了字典来计数和数组中的元素，因此空间复杂度为 O(m)。