题目解析——小F的糖果工厂 | 豆包MarsCode AI刷题

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本文章是关于<伴学笔记 | 青训营X豆包MarsCode 技术训练营>中对应##### 方向一：学习方法与心得所记录的伴学笔记😊，解析的题目是小F的糖果工厂

问题解析

问题描述

在这个问题中，工厂需要完成一个糖果订单，具体要求如下：

  1. 单一种类装箱：每包糖果只能由一种类型的糖果组成；
  2. 最低数量要求：每包糖果的数量不得少于 b；
  3. 总包数要求：需要生产至少 a 包糖果。

为了满足这些条件，我们需要计算完成订单所需的 最少天数，同时保证糖果的生产方式高效合理。

输入说明

  • n：糖果种类数；
  • a：需要的糖果包数；
  • b：每包糖果的最少数量；
  • candies：一个长度为 n 的列表，表示每种糖果每天的生产数量。

输出说明

返回完成订单的最少天数（一个整数）。

核心思路

为了解决这个问题，我们需要找到满足要求的最小天数，并尽量减少计算复杂度。因此，采用以下策略：

  1. 二分搜索：

    • 二分搜索是一种高效的算法，用于在范围内查找目标值。在本问题中，我们通过二分搜索来缩小天数的范围，逐步接近最优解。

  2. 检验函数：

    • 对于每一个候选天数，检查能否在这段时间内完成订单。这个检验函数的实现至关重要。

方法论

  • 将问题转化为判断性问题：对于给定的天数 days，判断是否能够完成订单。
  • 在 [1, 10^9] 的范围内，通过二分法快速定位最小满足条件的天数。

图解（Mermaid）

以下是二分搜索流程的可视化示意图：

graph TD
    A(开始) --> B[初始化二分搜索范围 l=1, r=10^9]
    B --> C{是否 l < r ? }
    C -- 是 --> D[计算中点 mid]
    D --> E[检查是否能完成订单]
    E -- 是 --> F[更新 r = mid]
    E -- 否 --> G[更新 l = mid + 1]
    F --> C
    G --> C
    C -- 否 --> H[返回结果 l]

代码详解

完整代码

 def solution(n: int, a: int, b: int, candies: list) -> int:
     """
     计算完成糖果订单所需的最少天数
     参数:
         n: int - 糖果种类数
         a: int - 需要的糖果包数
         b: int - 每包糖果的最少数量
         candies: list - 每种糖果每天的生产数量
     返回:
         int - 完成订单的最少天数
     """
     def can_finish(days: int) -> bool:
         """
         检查在给定天数内是否能完成订单
         参数:
             days: int - 给定的天数
         返回:
             bool - 是否能完成订单
         """
         total_packages = 0  # 可生产的糖果包总数
         for c in candies:
             # 计算每种糖果在 days 天内能生产的包数
             total_packages += (c * days) // b
             # 剪枝：如果包数达到或超过目标，直接返回 True
             if total_packages >= a:
                 return True
         return total_packages >= a
 ​
     # 二分查找范围初始化
     l, r = 1, 10**9  # 生产天数的最小值和最大值
     while l < r:
         mid = (l + r) // 2  # 中间值
         if can_finish(mid):  # 检查当前天数是否足够
             r = mid  # 缩小上界
         else:
             l = mid + 1  # 增加下界
     return l
 ​
 # 测试样例
 if __name__ == '__main__':
     print(solution(3, 10, 20, [7, 9, 6]))  # 输出：10
     print(solution(4, 5, 15, [3, 10, 8, 4]))  # 输出：4
     print(solution(2, 100, 5, [1, 10]))  # 输出：46

代码细节说明

  1. 核心函数 can_finish(days) ：

    • 功能：判断在指定的天数内，是否能够完成订单。

    • 逻辑：

      • 遍历 candies 列表，逐一计算每种糖果在 days 天内的生产能力： 包数=⌊生产总量每包糖果的最少数量⌋\text{包数} = \left\lfloor \frac{\text{生产总量}}{\text{每包糖果的最少数量}} \right\rfloor
      • 累加所有种类的糖果包数，并判断是否大于等于目标值 a。
      • 提前剪枝：一旦达到 a，即可返回 True，减少不必要的计算。

  2. 二分搜索部分：

    • 初始化范围为 [1, 10^9]，其中 10^9 是上限值；
    • 每次通过计算中点 mid = (l + r) // 2 来缩小搜索范围；
    • 如果 can_finish(mid) 为 True，则说明可以在 mid 天内完成，更新右边界 r = mid；
    • 如果为 False，则说明需要更多天数，更新左边界 l = mid + 1。

  3. 返回结果：

    • 当二分范围缩小到 l == r 时，返回 l，即满足条件的最少天数。

时间与空间复杂度分析

时间复杂度

  1. 二分搜索复杂度：O(log⁡(109))=O(30)O(log⁡(109))=O(30)
  2. 每次二分检查调用 can_finish，需要遍历糖果种类，总复杂度为 O(n)O(n)。
  3. 综合复杂度：O(n⋅log⁡(109))=O(n⋅30)O(n⋅log⁡(109))=O(n⋅30)，非常高效。

空间复杂度

  • 空间复杂度为O(1)O(1)，因为只使用了常量额外空间。

总结

该算法利用二分搜索显著缩小了搜索范围，将复杂的最小天数求解问题分解为多个可判定的中间子问题，再通过检验函数快速评估当前假设的天数是否可行。结合贪心思想（如提前剪枝），不仅避免了无效计算，还大幅提升了算法的实际运行效率。

代码的优点：

  1. 高效性：得益于二分搜索的 O(log⁡(r−l)⋅n)O(log⁡(r−l)⋅n)时间复杂度，即使面对百万级别的输入数据，也能迅速得出答案。
  2. 通用性：代码逻辑清晰、模块化，尤其是 can_finish 函数封装了判定逻辑，方便根据需求扩展或修改。
  3. 适用范围广：算法适用于任何具有单调性性质的问题，例如资源分配、工作调度、最优策略求解等。

扩展方向：

  1. 动态调整生产策略：如果允许生产设备在不同天数切换不同的糖果种类，可以优化每日生产的组合，从而缩短完成订单的总天数。
  2. 多目标优化：在实际生产中，除了满足订单，还可能要考虑成本、能耗或机器寿命等因素。这种情况下，可以引入更多约束条件或目标函数，结合动态规划或启发式算法进一步优化。
  3. 实时动态输入：如果订单需求或机器性能随着时间动态变化，可结合此框架处理动态问题，例如实时调度系统。

算法在实际应用中的意义：

二分搜索和贪心思想的结合常被用于类似问题中，例如物流配送的最短工期、工厂生产的最优资源调度等。通过合理建模和抽象，将现实问题转化为数学求解问题，既能提升效率，又能为决策提供科学依据。对于小F的糖果工厂来说，这种方法能显著提升生产效率，为应对大规模订单提供坚实基础。

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