问题背景
小U和小R对二进制数字充满了好奇，他们希望能够开发一个算法，将两个二进制字符串相加，并以十进制形式输出结果。挑战在于，这些二进制字符串可能非常长，常规方法处理大数时可能会遇到困难。因此，算法需要在时间复杂度不超过O(n^2)的前提下，高效地完成任务。
算法设计思路
为了解决这个问题，我们需要考虑以下几个关键点：
- 二进制加法的基本原理：二进制加法本质上和十进制加法相同，只是进位规则不同。每一位的和可能产生进位，需要传递到更高位。
- 处理不同长度的字符串：两个二进制字符串的长度可能不同，但这不会影响加法的基本操作。我们可以在较短的字符串前补0，使其与较长字符串等长，或者直接在加法过程中处理不同长度的部分。
- 大数处理：直接将二进制字符串转换为十进制数可能导致溢出。因此，我们需要一种方法来逐位处理二进制数，并逐步计算其十进制值。
代码解析
public static String solution(String binary1, String binary2) {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
int carry = 0;
// 从字符串的最后一位开始向前遍历
for(int i = binary1.length() - 1, j = binary2.length() - 1; i >= 0 || j >= 0; i --, j --){
int num1 = i >= 0 ? binary1.charAt(i) - '0' : 0;
int num2 = j >= 0 ? binary2.charAt(j) - '0' : 0;
int sum = num1 + num2 + carry;
carry = sum / 2;
sum %= 2;
sb.append(sum == 1 ? "1" : "0");
}
// 处理最后的进位
sb.append(carry != 0 ? "1" : "");
String strReNum = sb.toString();
long res = 0;
// 将二进制字符串转换为十进制数
for(int i = strReNum.length() - 1; i >= 0; i --){
res = res * 2 + (strReNum.charAt(i) - '0');
}
return String.valueOf(res);
}
- 二进制加法：使用
StringBuilder来存储每一位的加法结果。通过for循环从最低位（字符串的最后一位）开始，逐位相加，并处理进位。 - 处理不同长度的字符串：在循环中，如果某字符串的当前位不存在，则使用0代替，这样确保两个字符串的长度差异不影响加法。
- 进位处理：每次加法后计算新的进位，并更新当前位的值。如果循环结束后仍有进位，则将其添加到结果中。
- 二进制到十进制的转换：将最终的二进制字符串逐位转换为十进制数。这里采用逐步乘2的方法，每次将当前结果乘以2并加上当前位的值。
时间复杂度分析
- 二进制加法：两个字符串的长度分别为
n1和n2，加法操作的时间复杂度为O(max(n1, n2))。 - 二进制到十进制的转换：转换操作的时间复杂度与二进制字符串的长度成正比，即
O(max(n1, n2))。
综合来看，整个算法的时间复杂度为O(max(n1, n2))，完全符合题目要求。
个人思考与优化
虽然当前算法已经能够满足题目要求，但在处理极长字符串时，直接使用long进行十进制转换可能会遇到溢出问题。为了进一步提升算法的鲁棒性，可以考虑使用BigInteger类来处理大数运算。
此外，在实际应用中，如果输入的二进制字符串非常长，可能需要进一步优化存储和计算效率。例如，可以将二进制字符串分段处理，每段进行局部加法和进位计算，最后再将各段结果合并。
