问题描述
小R正在计划一次从地点A到地点B的徒步旅行，总路程需要 N 天。为了在旅途中保持充足的能量，小R每天必须消耗1份食物。幸运的是，小R在路途中每天都会经过一个补给站，可以购买食物进行补充。然而，每个补给站的食物每份的价格可能不同，并且小R最多只能同时携带 K 份食物。
现在，小R希望在保证每天都有食物的前提下，以最小的花费完成这次徒步旅行。你能帮助小R计算出最低的花费是多少吗？
测试样例
样例1：
输入：
n = 5 ,k = 2 ,data = [1, 2, 3, 3, 2]
输出：9
样例2：
输入：
n = 6 ,k = 3 ,data = [4, 1, 5, 2, 1, 3]
输出：9
样例3：
输入：
n = 4 ,k = 1 ,data = [3, 2, 4, 1]
输出：10
思路
这个问题依旧使用动态规划的方式来写，在这个问题中，计算最小花费会用上第i-1天的最小花费，这样循环下去会不断的重复子问题，而知道了前i天的最小花费之后我们要计算第i+1天的最小花费有两种选择：
- 直接购买食物（加上这一天的花费）
- 吃存粮（在第j天购买食物，加上第j天的花费）
使用动态规划能够存储之前的结果，通过存储的结果求得后续的最优解。
AC代码
public class Main {
public static int solution(int n, int k, int[] data) {
int length = data.length;
int[] dp = new int[length];
dp[0] = data[0];
for(int i = 1; i < length; i++) {
dp[i] = dp[i-1] + data[i];
for(int j = i - 1; j >= i-k+1 && j >= 0; j--) {
dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i-1] + data[j]);
}
}
return dp[length-1];
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(solution(5, 2, new int[]{1, 2, 3, 3, 2}) == 9);
System.out.println(solution(6, 3, new int[]{4, 1, 5, 2, 1, 3}) == 9);
System.out.println(solution(4, 1, new int[]{3, 2, 4, 1}) == 10);
}
}
代码解析
for(int i = 1; i < length; i++) {
dp[i] = dp[i-1] + data[i];
for(int j = i - 1; j >= i-k+1 && j >= 0; j--) {
dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i-1] + data[j]);
}
}
这段代码是这道题动态规划的核心部分，可以看到的是，dp到第i天的最小花费时，这个寻找“存粮”的最小边界定在了i-k+1，因为限制了“负重”，所以从第i天开始往前最多推k-1天买的粮食才能保证不超过限度。
总结
这个问题也可以使用贪心算法，但是使用动态规划似乎更加典型，它涉及到条件限制从而推导最优子结构得到全局最优解。
学习心得
这道题我一开始想到的是贪心算法，而贪心算法的局部最优解不太好推算出全局最优解，而且这个题还有条件限制，种种方面都没能让我通过贪心算法解出这道题。而使用动态规划的方法对这个问题的分析更加清晰，通过这个题目进一步加深了我对动态规划的理解和对贪心算法局限性的了解。
