题目解析: 观光景点组合得分问题 | 豆包MarsCode AI刷题题目解析小R正在研究一组观光景点，每个景点都有一个

题目解析

小R正在研究一组观光景点，每个景点都有一个评分，存储在数组 values 中，其中 values[i] 表示第 i 个景点的评分。两个景点之间的距离由它们的下标差 j - i 表示（假设 i < j）。小R希望找到一对景点 (i, j)，使得组合得分最大。组合得分的计算公式为：

得分=values[i]+values[j]+i−j\text{得分} = \text{values}[i] + \text{values}[j] + i - j

简化后可以表示为：

得分=(values[i]+i)+(values[j]−j)\text{得分} = (\text{values}[i] + i) + (\text{values}[j] - j)

因此，我们需要找到一对 (i, j)（i < j），使得 (\text{values}[i] + i) + (\text{values}[j] - j) 最大。

解题思路

为了高效地解决这个问题，我们需要优化遍历过程，避免使用双重循环（这会导致时间复杂度为 O(n²)，在数据量较大时效率低下）。以下是详细的解题步骤和思路：

1. 重组得分公式

首先，我们将组合得分公式进行重组：

得分=values[i]+values[j]+i−j=(values[i]+i)+(values[j]−j)\text{得分} = \text{values}[i] + \text{values}[j] + i - j = (\text{values}[i] + i) + (\text{values}[j] - j)

这表明，得分可以分为两部分：

第一部分：values[i] + i，仅与第一个景点 i 相关。
第二部分：values[j] - j，仅与第二个景点 j 相关。

为了最大化得分，我们需要：

对于每个 j，找到之前所有 i 中最大的 values[i] + i。
然后，将这个最大值与当前 j 的 values[j] - j 相加，得到当前的组合得分。
记录所有组合得分中的最大值。

2. 维护一个变量记录当前最大 `values[i] + i`

为了实现上述思路，我们在遍历数组时，维护一个变量 max_so_far，用于记录到当前 j 之前（即 i < j）的最大 values[i] + i。这样，当我们遍历到位置 j 时，可以立即计算出以 j 为第二个景点的最佳组合得分。

3. 更新最大得分

在遍历过程中，我们不断更新 max_score，以确保它始终保存着当前最大的组合得分。同时，更新 max_so_far，以便在后续的计算中使用。

4. 处理特殊情况

如果数组为空或者长度小于2，则无法形成一对景点组合，此时返回得分 0。

5. 具体步骤

以下是详细的步骤：

初始化：
- 检查数组是否为空或长度是否小于2，若是，则返回 0。
- 初始化 max_so_far 为第一个景点的 values[0] + 0。
- 初始化 max_score 为负无穷，以便后续更新。
遍历数组：
- 从第二个景点开始遍历（索引 j 从 1 到 values.length - 1）。
- 对于每个 j，计算当前可能的组合得分 current_score = max_so_far + values[j] - j。
- 如果 current_score 大于当前的 max_score，则更新 max_score。
- 计算当前位置 j 可能作为新的 i 的值 potential_new_max = values[j] + j。
- 如果 potential_new_max 大于 max_so_far，则更新 max_so_far。
返回结果：
- 遍历结束后，max_score 即为最大的组合得分。

代码实现

基于上述思路，以下是Java代码的详细实现：

public class Main {
    public static int solution(int[] values) {
        // 检查输入是否有效
        if (values == null || values.length < 2) {
            return 0;
        }

        // 初始化最大值变量
        int max_so_far = values[0] + 0; // 初始时，i = 0
        int max_score = Integer.MIN_VALUE; // 初始最大得分为最小整数

        // 遍历数组，从第二个元素开始
        for (int j = 1; j < values.length; j++) {
            // 计算以j为第二个景点的组合得分
            int current_score = max_so_far + values[j] - j;
            // 更新最大得分
            if (current_score > max_score) {
                max_score = current_score;
            }

            // 计算当前位置j作为i时的值
            int potential_new_max = values[j] + j;
            // 更新max_so_far
            if (potential_new_max > max_so_far) {
                max_so_far = potential_new_max;
            }
        }

        return max_score;
    }

    public static void main(String[] args) {
  
        System.out.println(solution(new int[]{8, 3, 5, 5, 6}) == 11 ? 1 : 0);

        System.out.println(solution(new int[]{10, 4, 8, 7}) == 16 ? 1 : 0);

        System.out.println(solution(new int[]{1, 2, 3, 4, 5}) == 8 ? 1 : 0);
    }
}

代码解释

输入检查：
- 首先检查输入数组是否为 null 或者长度是否小于2，如果是，则直接返回 0，因为无法形成一对景点组合。
初始化变量：
- max_so_far 用于记录当前遍历到 j 之前的最大 values[i] + i，初始值为第一个元素的 values[0] + 0。
- max_score 用于记录当前的最大组合得分，初始值设为 Integer.MIN_VALUE，以确保任何组合得分都会更新它。
遍历数组：
- 从第二个元素开始遍历数组，索引 j 从 1 到 values.length - 1。
- 对于每个 j，计算 current_score = max_so_far + values[j] - j，即将之前的最大 values[i] + i 与当前的 values[j] - j 相加，得到当前的组合得分。
- 如果 current_score 大于 max_score，则更新 max_score。
- 计算当前 j 作为 i 时的值 potential_new_max = values[j] + j，并更新 max_so_far。
返回结果：
- 遍历结束后，max_score 就是所有可能组合中最大的得分，返回它作为结果。

示例分析

让我们通过详细的示例来理解算法的运行过程。

示例 1

输入：values = [8, 3, 5, 5, 6]

期望输出：11

步骤：

初始化：
- max_so_far = 8 + 0 = 8
- max_score = -∞
遍历过程：
- j = 1：
  - current_score = 8 + 3 - 1 = 10
  - 更新 max_score = 10
  - potential_new_max = 3 + 1 = 4（不更新 max_so_far，因为 4 < 8）
- j = 2：
  - current_score = 8 + 5 - 2 = 11
  - 更新 max_score = 11
  - potential_new_max = 5 + 2 = 7（不更新 max_so_far，因为 7 < 8）
- j = 3：
  - current_score = 8 + 5 - 3 = 10（不更新 max_score，保持 11）
  - potential_new_max = 5 + 3 = 8（不更新 max_so_far，因为 8 == 8）
- j = 4：
  - current_score = 8 + 6 - 4 = 10（不更新 max_score，保持 11）
  - potential_new_max = 6 + 4 = 10（更新 max_so_far = 10）
最终结果：max_score = 11

解释：最佳组合为 (i=0, j=2)，即 values[0] + values[2] + 0 - 2 = 8 + 5 + 0 - 2 = 11。

复杂度分析

时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组 values 的长度。我们只需要一次遍历即可得到结果。
空间复杂度：O(1)，只使用了常数级别的额外空间。

边界情况考虑

在实际编程中，除了正常情况外，还需要考虑一些边界情况，以确保程序的健壮性：

数组为空或长度小于2：
- 根据题意，如果数组为空或只有一个元素，则无法形成一对景点组合，此时应返回 0。
所有景点评分为负数：
- 即使所有评分为负，依然需要找到得分最大的组合。由于得分公式中包含 +i - j，可能仍然存在正得分的组合。
多个组合得分相同：
- 如果存在多个组合得分相同且都是最大的，算法只需要返回其中一个即可，不需要列举所有组合。
最大或最小整数值：
- 确保在计算过程中不会发生整数溢出。例如，如果 values[i] 和 values[j] 都非常大，values[i] + i 可能超过整数范围。
- 在Java中，int 类型的范围是 -2^31 到 2^31 - 1。若有可能超过这个范围，可以考虑使用 long 类型进行计算。

扩展思考

1. 变体问题

找到所有最大得分的组合：
- 如果需要列举所有得分为最大值的组合，可以在遍历过程中记录所有满足条件的 (i, j) 对。
优化空间使用：
- 如果需要处理多个数组或需要进行多次查询，可以考虑预处理或使用动态规划等方法来进一步优化。

2. 其他解决方案

虽然当前的解决方案已经达到了线性时间复杂度，但在某些情况下，可能会有其他解决方案。例如：

双指针法：
- 对于特定类型的问题，双指针法可以有效减少时间复杂度。但在此问题中，双指针法并不直接适用，因为得分的计算涉及到最大值的维护。
分治法：
- 对于一些复杂问题，分治法可以将问题分解成更小的子问题，然后合并结果。然而，对于本问题，分治法并不能直接简化问题的复杂度。

总结

通过对题目进行深入分析，我们将组合得分公式进行了重组，将问题转化为在遍历过程中持续跟踪最大 values[i] + i，从而高效地找到最大组合得分。这种方法不仅简单直观，而且具备线性时间复杂度，适用于大规模数据的处理。

关键在于理解得分公式的结构，通过合理的变量维护和更新，实现了高效的求解过程。在编程实现中，细心处理边界情况和潜在的溢出问题，确保程序的正确性和健壮性。

通过这些步骤和分析，相信读者能够深入理解这道题目的解法，并能够将类似的思路应用到其他相关问题中。

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