问题描述
小R近期表现出色，公司决定以股票的形式给予奖励，并允许他在市场上进行交易以最大化收益。给定一个数组，数组中的第 i 个元素代表第 i 天的股票价格。小R需要设计一个算法来实现最大利润。
股票交易规则如下：
- 小R可以多次买卖股票，但在买入新的股票前必须卖出之前的股票。
- 每次卖出股票后存在一天的冷冻期，在冷冻期内小R不能购买股票。
你的任务是帮助小R计算出在遵守交易规则的情况下能够获得的最大利润。
stocks: 一个整数列表，表示连续几天内的股票价格。
测试样例
样例1：
输入：
stocks = [1, 2]
输出：1
样例2：
输入：
stocks = [2, 1]
输出：0
样例3：
输入：
stocks = [1, 2, 3, 0, 2]
输出：3
样例4：
输入：
stocks = [2, 3, 4, 5, 6, 7]
输出：5
样例5：
输入：
stocks = [1, 6, 2, 7, 13, 2, 8]
输出：12
解题思路
动态规划
1、dp 数组的含义
dp[i][j]：第 i 天状态为j，获得的最大利润。
根据题目描述，由于最多只能同时买入（持有）一支股票，并且卖出股票后有冷冻期的限制，设置了四种不同的状态
- dp[i][0]：目前持有一支股票；
- dp[i][1]：目前不持有任何股票（可能在冷冻期，可能不在冷冻期）；
- dp[i][2]：当天卖出股票；
- dp[i][3]：目前为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！
2、状态转移方程
1）对于 dp[i][0]，有两种可能的情况：
- 操作一：前一天就是持有股票状态（延续），dp[i][0] = dp[i - 1][0]
- 操作二：今天买入了，有两种情况
-
- 前一天是冷冻期，dp[i - 1][3] - stocks[i]
-
- 前一天是保持卖出股票的状态，dp[i - 1][1] - stocks[i]
那么 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][3] - stocks[i], dp[i - 1][1] - stocks[i]);
2）对于dp[i][1]，有两种可能的情况：
- 操作一：前一天就是不持有股票状态
- 操作二：前一天是冷冻期
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
3）对于dp[i][2] ，只有一个操作：
昨天一定是持有股票状态，今天卖出股票。
即：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + stocks[i];
4）dp[i][3]，只有一个操作：
昨天卖出了股票，今天是冷冻期。
dp[i][3] = dp[i - 1][2];
3、细节
可以将第 0 天的情况作为动态规划中的边界条件
dp[0][0] = -stocks[0];
在第 0 天时，如果持有股票，那么只能是在第 0 天买入的，对应负收益 −stocks[0]，如果不持有股票，那么收益为零。这样就可以从第 1 天开始，根据上面的状态转移方程进行进行动态规划，直到计算出第 n−1 天的结果。
4、代码实现
public static int solution(int[] stocks) {
if (stocks == null || stocks.length < 2) {
return 0;
}
int len = stocks.length;
int[][] dp = new int[stocks.length][4];
// 初始化
dp[0][0] = -stocks[0];
for (int i = 1; i < stocks.length; i++) {
// dp公式
dp[i][0] = Math.max(Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - stocks[i]), dp[i - 1][3] - stocks[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + stocks[i];
dp[i][3] = dp[i - 1][2];
}
return Math.max(Math.max(dp[len - 1][1], dp[len - 1][2]), dp[len - 1][3]);
}
时间复杂度
时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)
学习心得
动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。 所有动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。
- 动态规划问题需要清晰地定义状态和状态转移方程；
- 空间优化是解决动态规划问题时减少资源消耗的有效方法；
- 在实际应用中，需要考虑边界条件，例如本题中的数组长度小于2的情况。
知识点延伸
- 动态规划：这是一种解决决策问题的算法思想，通过将问题分解为更小的子问题来解决原问题。
- 空间优化：在动态规划中，可以使用滚动数组或变量来减少空间复杂度。
- 股票问题系列：在LeetCode等平台上，有许多关于股票买卖的问题，它们都可以用动态规划来解。
