AI 刷题 14. 数组元素之和最小化 题解 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小C希望构造一个包含n个元素的数组，且满足以下条件：

1. 数组中的所有元素两两不同。
2. 数组所有元素的最大公约数为 k。
3. 数组元素之和尽可能小。

任务是输出该数组元素之和的最小值。

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测试样例

样例1：

输入：n = 3 ,k = 1
输出：6

样例2：

输入：n = 2 ,k = 2
输出：6

样例3：

输入：n = 4 ,k = 3
输出：30

问题分析与解题思路

给定 n 和 k，我们需要构造一个包含 n 个元素的数组，满足以下三个条件：

1. 数组中的所有元素两两不同。
2. 数组所有元素的最大公约数为 k。
3. 数组元素之和尽可能小。

关键分析：

1. 最大公约数为 k：要求数组中的每个元素的最大公约数为 k，也就是数组中的每个元素必须是 k 的倍数。

   • 我们可以将数组中的每个元素表示为 k * m，其中 m 是正整数。因此，问题转化为：选择 n 个不同的正整数 m1, m2, ..., mn，使得 gcd(k * m1, k * m2, ..., k * mn) = k。

2. 元素之和最小：为了使得元素之和尽可能小，我们应该选择最小的 n 个不同的正整数，使得它们的最大公约数为 1。这是因为 k * m 中，m 的最小值越小，结果越小，且所有元素的最大公约数为 k。

   • 所以我们选择的 m 值应当是连续的自然数（从 1 开始），并且它们的最大公约数为 1。这能保证它们的公约数为 1，从而保证整个数组的最大公约数是 k。

3. 构造方案：我们选择的 m 值就是从 1 开始的 n 个互质的正整数，最小的 n 个正整数是 1, 2, ..., n。但要注意，由于要求每个元素都应该是 k 的倍数，因此最终的数组元素应该是 k * 1, k * 2, ..., k * n。

4. 计算最小和：为了最小化元素之和，我们最终数组的元素为：[k * 1, k * 2, ..., k * n]。其和为：

   sum=k×(1+2+3+⋯+n)=k×n(n+1)2\text{sum} = k \times (1 + 2 + 3 + \dots + n) = k \times \frac{n(n+1)}{2}

   这是等差数列求和公式的应用。

代码实现

根据上面的思路，代码可以简洁地实现如下：

def solution(n: int, k: int) -> int:
    # 根据等差数列求和公式，求 1 到 n 的和
    sum_of_first_n = n * (n + 1) // 2
    # 最小和是 k 乘以 1 到 n 的和
    return k * sum_of_first_n

# 测试样例
if __name__ == '__main__':
    print(solution(n = 3, k = 1) == 6)  # 1 + 2 + 3 = 6
    print(solution(n = 2, k = 2) == 6)  # 2 + 4 = 6
    print(solution(n = 4, k = 3) == 30) # 3 + 6 + 9 + 12 = 30

时间和空间复杂度分析

1. 时间复杂度：

   • 代码中主要的操作是计算 n * (n + 1) // 2，这是一个常数时间操作，复杂度为 O(1)。
   • 因此，整体时间复杂度为 O(1) 。

2. 空间复杂度：

   • 代码只使用了常数空间来存储变量 sum_of_first_n 和计算结果，所以空间复杂度为 O(1) 。

总结

1. 题目转化为求解 n 个互质正整数的最小和，最终答案是 k * (1 + 2 + ... + n)，即 k * n * (n + 1) / 2。
2. 时间复杂度和空间复杂度均为 O(1)