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关于观光景点组合问题分析

问题描述

小R正在研究一组观光景点，每个景点都有一个评分，保存在数组 values 中，其中 values[i] 表示第 i 个观光景点的评分。同时，景点之间的距离由它们的下标差 j - i 表示。

一对景点 (i < j) 的观光组合得分为 values[i] + values[j] + i - j，也就是两者评分之和减去它们之间的距离。

小R想知道，在哪种情况下能够获得观光景点组合的最高得分。

思路

1. 暴力解法思路

双层循环遍历

-   使用两层嵌套的循环来遍历数组 `values`。外层循环控制第一个景点的下标 `i`，从数组的起始位置开始，逐步向后移动。内层循环控制第二个景点的下标 `j`，对于每个固定的 `i`，`j` 从 `i + 1` 开始，一直到数组的末尾。这样就能遍历所有可能的景点组合 `(i, j)` 且满足 `i < j`。

• 计算组合得分：

  • 对于每一对景点组合 (i, j)，根据给定的公式 values[i] + values[j] + i - j 来计算它们的观光组合得分。

• 记录最高得分及对应组合：

  • 初始化一个变量来记录当前找到的最高得分，初始值可以设为一个较小的值（比如负无穷）。同时，记录下对应的景点下标组合 (i, j)。
  • 在每次计算完一个组合的得分后，将其与当前的最高得分进行比较。如果该得分大于最高得分，就更新最高得分以及对应的景点下标组合。

2. 优化解法思路（动态规划相关思路）

• 分析公式特点：

  • 对观光组合得分公式 values[i] + values[j] + i - j 进行变形，可以得到 (values[i] + i) + (values[j] - j)。这样就可以将问题转化为分别考虑 values[i] + i 和 values[j] - j 这两部分。

• 预处理部分结果：

  • 创建两个辅助数组，一个数组 leftMax 用来记录从左到右遍历数组时，每个位置 i 对应的 values[i] + i 的最大值；另一个数组 rightMax 用来记录从右到左遍历数组时，每个位置 j 对应的 values[j] - j 的最大值。
  • 通过一次遍历数组就能填充好 leftMax 数组，在遍历过程中不断更新当前位置及之前位置的最大值。同样，通过一次反向遍历数组就能填充好 rightMax 数组。

• 寻找最高得分组合：

  • 再次遍历数组（这次可以只遍历一次，利用前面预处理得到的两个辅助数组）。对于每个位置 i，此时可以通过 leftMax[i] 得到左边部分（values[i] + i）的最大值，通过 rightMax[i + 1] 得到右边部分（values[j] - j，这里 j > i）的最大值。将这两部分相加就能得到以 i 为分割点的一种可能的最高观光组合得分。

  • 在遍历过程中，不断比较并更新全局的最高观光组合得分以及对应的景点下标组合。

通过上述优化思路，可以在低于暴力解法的时间复杂度下找到观光景点组合的最高得分。具体的代码实现会根据所选择的编程语言，按照这些思路来进行具体的变量定义、循环控制、数组操作等编写。