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今天来道困难题 概率游戏（其实是简单题难度）

问题描述

小U在玩一个盲盒交换游戏，给定两个参数：n和k。将以下公式化简：

这个公式最终的结果可以简化成一个最简分数 p/q，小U想知道 p+q 的值模10的结果是多少。

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测试样例

样例1：

输入：n = 2 ,k = 5
输出：1

样例2：

输入：n = 2 ,k = 6
输出：6

样例3：

输入：n = 3 ,k = 7
输出：9

样例4：

输入：n = 3 ,k = 9
输出：9

问题分析

给定公式：

要求化简后得到的最简分数的 p/q，然后计算 p + q 的结果，最后输出 p + q 对 10 的模。

1. 分析公式结构

这个公式分为两部分：

• 第一部分是常数 $\frac{1}{2}$。
• 第二部分是 $\frac{1}{2} \left( \frac{2k}{1+k} - 1 \right)^n$，需要化简其中的表达式。

1.1 化简第二部分的表达式

我们先来看第二部分：

首先，化简括号里的表达式：

所以，第二部分可以写成：

1.2 总体公式

结合第一部分和第二部分，我们的最终公式是：

可以提取出公因子 $\frac{1}{2}$，得到：

2. 化简结果

我们需要将 $\frac{1}{2} \left( 1 + \left( \frac{k-1}{k+1} \right)^n \right)$ 化简成最简分数形式 p/q。为了方便后续的计算，先对其进行通分。

2.1 求表达式的分数形式

设：

那么，我们的公式变成：

进一步化简后，将结果表示为分数。这样等会写代码逻辑的时候就很容易写了。

3. 模10计算

得到最简分数形式 p/q 后，我们需要计算 p + q 的结果，并输出 p + q 对 10 的模。

4. 样例分析

其实案例比较简单，这边直接带入公式计算就行了，没必要花里胡哨，浪费键盘耐久度。

样例1：n = 2, k = 5

公式：

化简：

因此，结果是 13/18，p + q = 13 + 18 = 31，31 % 10 = 1。

样例2：n = 2, k = 6

公式：

化简：

因此，结果是 37/49，p + q = 37 + 49 = 86，86 % 10 = 6。

样例3：n = 3, k = 7

公式：

化简：

因此，结果是 91/128，p + q = 91 + 128 = 219，219 % 10 = 9。

样例4：n = 3, k = 9

公式：

化简：

因此，结果是 189/250，p + q = 189 + 250 = 439，439 % 10 = 9。

5. 代码实现

from fractions import Fraction

def solution(n, k):
    # 计算 (k-1)/(k+1) 的 n 次方，这里的x直接用的刚才上面推理的x
    x = Fraction(k - 1, k + 1) ** n
    # 计算总结果
    result = Fraction(1, 2) + Fraction(1, 2) * x
    # 分子和分母
    p = result.numerator
    q = result.denominator
    # 返回 p + q % 10
    return (p + q) % 10