今天刷的也是一道难度特别难的题目：小E的倍数子集问题
问题描述
小E想知道一个给定集合中，有多少个子集满足以下条件：
- 子集内的所有元素数量大于 1。
- 子集内的所有元素两两之间互为倍数关系。
由于结果可能非常大，输出的结果需要对 109+7109+7 取模。
测试样例
样例1：
输入：
n = 5,a = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：6
样例2：
输入：
n = 6,a = [2, 4, 8, 16, 32, 64]
输出：57
样例3：
输入：
n = 4,a = [3, 6, 9, 12]
输出：5
好的，下面我将对这道题目进行详细分析，尽可能深入地解释每个步骤和思路。
题目分析
题目要求我们找到一个数组中所有符合以下条件的子集的数量：
- 子集内的元素数量必须大于1。
- 子集内的元素之间存在倍数关系，即每个元素都是前一个元素的倍数。
问题解析
倍数关系是指，如果一个子集包含了元素 x 和 y，那么它们之间必须满足 x = k * y 或 y = k * x，其中 k 是某个整数。如果我们能够找到满足这个条件的子集，并且子集的大小大于1，就需要统计出来。
直接的暴力方法是枚举所有的子集，但是这样会非常低效。因为给定一个数组的子集数目是 (2^n)，而我们需要判断每个子集是否符合倍数关系。暴力解法的时间复杂度非常高，甚至可能导致计算时间超时。因此，我们需要寻找一种更高效的算法。
思路：动态规划 + 排序优化
为了提高效率，我们可以使用动态规划（Dynamic Programming, DP）来解决这个问题。同时，我们利用排序来简化倍数关系的判断。
1. 排序：简化倍数判断
首先，排序是非常关键的一步。排序后，数组中的每个元素都会按照升序排列。这样，如果某个元素是另一个元素的倍数，它必定会出现在它之后（即小的元素会在前面）。因此，我们只需要在动态规划的过程中，检查每个元素之前的所有元素，而不用反向查找。这个顺序保证了我们能够有效地判断倍数关系。
例如，假设我们有一个数组 [1, 2, 3, 4, 6, 8]，排序后数组为 [1, 2, 3, 4, 6, 8]。对于元素 8，我们只需要检查 1、2、4，因为这些元素都小于 8，并且如果它们是 8 的倍数，我们可以直接用它们来扩展子集。
2. 动态规划（DP）
我们可以定义一个 dp 数组，其中 dp[i] 表示以元素 a[i] 为末尾的倍数链的子集数量。
初始化：每个元素本身可以构成一个子集，所以初始状态下，每个 dp[i] 都为 1。
状态转移：对于每个元素 a[i]，我们检查它之前的所有元素 a[j]，如果 a[i] 能被 a[j] 整除（即 a[i] % a[j] == 0），那么我们可以把以 a[j] 结尾的所有子集扩展到 a[i]。具体来说，如果 a[i] % a[j] == 0，那么就有 dp[i] = dp[i] + dp[j]。
为什么加 dp[j]？
这是因为，dp[j] 表示以 a[j] 为结尾的符合倍数关系的子集的数量，所有这些子集都可以通过添加 a[i] 来扩展。由于 a[i] 是 a[j] 的倍数，我们就可以把所有以 a[j] 为结尾的子集都扩展成以 a[i] 为结尾的子集。
3. 最终结果
最终结果应该是所有 dp[i] 的总和减去单元素的子集。因为每个元素本身作为一个子集，初始时 dp[i] = 1，而题目要求的是子集的元素数量必须大于1，因此我们需要减去单个元素子集的个数，也就是 n（数组的长度）。因此，最终结果就是所有 dp[i] 的和减去 n。
4. 考虑溢出
由于答案可能会非常大，我们需要对最终结果取模。题目要求输出结果对 (10^9 + 7) 取模。
代码解释
-
排序：我们首先对数组进行升序排序。排序后，数组的每个元素都按照升序排列，有利于我们在遍历过程中更容易找到倍数关系。
-
初始化：我们为每个元素
a[i]初始化一个dp[i]，表示以a[i]为末尾的符合条件的子集数量。每个元素至少可以自己构成一个子集，因此初始值为 1。 -
动态规划填充
dp数组：我们遍历数组，对于每个元素a[i]，我们检查它之前的所有元素a[j]，如果a[i] % a[j] == 0，则说明可以将a[j]扩展到a[i]，我们就将dp[j]的值加到dp[i]。 -
最终结果：最终，所有
dp[i]的值表示以a[i]为结尾的符合条件的子集的数量。为了去掉只有一个元素的子集（即每个元素自己本身），我们需要减去n（数组的长度），因为每个元素的子集计数是 1。 -
取模：最后，为了防止结果过大，我们需要对结果进行取模，使用 (10^9 + 7) 作为模数。
时间复杂度分析
- 排序的时间复杂度是 (O(n \log n))。
- 动态规划部分的时间复杂度是 (O(n^2))，因为我们在每个元素上都遍历前面的所有元素。
因此，总的时间复杂度是 (O(n^2))，这是由于双重循环检查倍数关系所致。
空间复杂度分析
我们使用了一个大小为 (n) 的 dp 数组来保存每个元素作为子集末尾时的子集数目，因此空间复杂度是 (O(n))。
结论
通过使用排序和动态规划的组合，我们能够高效地解决这个问题。尽管最坏情况下时间复杂度是 (O(n^2))，但对于大多数常见的输入规模，这种方法已经足够高效。
