1. 问题概述
在一个 m x n 的二维网格中，每个格子包含一个整数值。我们的目标是找到一条“交替上坡下坡”路径，并返回路径的最大步数。具体要求如下：
-
当前位置的值与相邻格子的值必须符合“交替上坡下坡”的规则：
（1）如果当前是上坡，则下一步必须是下坡。
（2）如果当前是下坡，则下一步必须是上坡。
-
可以向上、下、左、右四个方向移动。
-
路径必须满足交替上坡下坡的要求。
2. 问题分析
本题的核心在于如何从每个格子出发，找到一条交替上坡下坡的路径，并计算最大路径长度。我们可以使用深度优先搜索（DFS）的方法，递归探索每个可能的路径。
关键点：
- 交替上坡下坡：路径必须满足严格的交替要求，即每一步的方向必须与前一步相反。
- 深度优先搜索：DFS适合用来探索所有可能的路径，并可以在搜索过程中判断路径是否符合要求。
- 回溯：由于路径需要遍历整个网格，回溯机制保证我们可以从每个格子开始重新探索其他路径。
3. 解法思路
3.1 DFS + 回溯
我们可以从每个网格格子出发，尝试向四个方向移动，进行递归探索，并利用回溯来更新每个格子是否已被访问。每次递归时，我们判断当前步数是否满足交替上坡下坡的要求，并根据要求进一步扩展路径。
- 状态控制：我们可以通过一个布尔变量
is_up来表示当前路径是上坡还是下坡，从而控制接下来的移动方向。如果当前是上坡，则下一步必须是下坡，反之亦然。 - 回溯的作用：每次访问一个格子后，我们记录当前路径的最大步数，然后回溯，重新标记该格子为未访问，确保其他路径可以再次访问该格子。
3.2 遍历所有起点
我们需要从每个网格格子开始进行DFS搜索，因为路径的最大长度可能从任意一个格子出发。因此，我们会遍历每个格子，分别尝试从该格子出发的上坡和下坡路径，并记录路径的最大长度。
3.3 复杂度分析
- 时间复杂度：每个格子最多被访问一次，每次访问时最多进行四次递归调用，因此时间复杂度为 O(m * n)。
- 空间复杂度：主要由递归栈和访问记录的
visited数组占用空间，空间复杂度为 O(m * n)。
4. 代码实现
def solution(m, n, a):
# 初始化visited数组
visited = [[False] * n for _ in range(m)]
# 定义DFS函数
def dfs(x, y, is_up):
visited[x][y] = True
max_path = 0
# 尝试向四个方向移动
directions = [(-1, 0), (1, 0), (0, -1), (0, 1)]
for dx, dy in directions:
nx, ny = x + dx, y + dy
# 检查边界和是否已访问
if 0 <= nx < m and 0 <= ny < n and not visited[nx][ny]:
# 检查是否满足上坡或下坡条件
if (is_up and a[nx][ny] < a[x][y]) or (not is_up and a[nx][ny] > a[x][y]):
# 递归调用DFS
max_path = max(max_path, dfs(nx, ny, not is_up))
# 回溯：标记当前位置为未访问
visited[x][y] = False
# 返回当前路径长度
return max_path + 1
max_steps = 0
# 遍历地图中的每个位置，尝试从该位置开始DFS
for i in range(m):
for j in range(n):
max_steps = max(max_steps, dfs(i, j, True))
max_steps = max(max_steps, dfs(i, j, False))
return max_steps - 1
5. 解题步骤
-
初始化：
- 创建一个
visited数组来标记每个位置是否已被访问，防止重复访问。
- 创建一个
-
DFS函数：
dfs(x, y, is_up)从当前位置(x, y)开始递归探索。is_up表示当前是上坡（True）还是下坡（False）。- 在每次递归中，尝试四个方向移动，并检查新位置是否符合上坡或下坡的条件。
- 在递归过程中，通过回溯来确保每个位置都可以重新访问。
-
遍历所有起点：
- 遍历网格中的每个位置，分别尝试从该位置出发的上坡和下坡路径，更新最大路径长度。
-
返回结果：
- 最终返回最大路径长度减去 1，因为初始步数是从 1 开始计算的。
6. 总结与优化
6.1 优化建议
- 记忆化搜索：在大规模数据下，考虑使用记忆化搜索来减少重复计算，从而提升效率，但是由于本人还未完全掌握，实现还有困难。
- 动态规划：在某些情况下，可以考虑使用动态规划来求解，但由于路径的交替性质，DP 方法较为复杂，适用于有其他约束条件的场景。
6.2 结语
通过这道题的求解，我们不仅掌握了如何使用 DFS 和回溯来解决路径搜索问题，还深刻理解了如何处理复杂的路径约束条件（如交替上坡下坡）。
