数字分组求偶数和 | 豆包MarsCode AI刷题

问题分析

我们需要从多个数字组中选择一个数字，组成的新数的各位数字之和必须是偶数。为了有效地统计所有可能的组合，采用动态规划的方法。

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解题思路

1. 分析奇偶性质

• 一个数的各位数字之和为偶数，当且仅当：

  • 选择的奇数个数为偶数。

• 每组数字可以分为 偶数 和 奇数：

  • 偶数：数字能被 2 整除（如 0, 2, 4, 6, 8）。
  • 奇数：数字不能被 2 整除（如 1, 3, 5, 7, 9）。

2. 动态规划定义

• dp[i][0]：前 i 个数字组中，选择的组合使得当前奇数个数为偶数的总数。
• dp[i][1]：前 i 个数字组中，选择的组合使得当前奇数个数为奇数的总数。

3. 状态转移

对于第 i 个数字组：

• 假设该组中有 even_count 个偶数，odd_count 个奇数。

• 更新 dp[i][0] 和 dp[i][1]：

  • dp[i][0]：当前奇数个数为偶数，可以由以下两种情况得到：

    1. 前 i-1 组中奇数个数为偶数，再从第 i 组选择一个偶数： dp[i−1][0]×even_countdp[i-1][0] \times even_count
    2. 前 i-1 组中奇数个数为奇数，再从第 i 组选择一个奇数： dp[i−1][1]×odd_countdp[i-1][1] \times odd_count

    dp[i][0]=dp[i−1][0]×even_count+dp[i−1][1]×odd_countdp[i][0] = dp[i-1][0] \times even_count + dp[i-1][1] \times odd_count

  • dp[i][1]：当前奇数个数为奇数：

    1. 前 i-1 组中奇数个数为偶数，再从第 i 组选择一个奇数： dp[i−1][0]×odd_countdp[i-1][0] \times odd_count
    2. 前 i-1 组中奇数个数为奇数，再从第 i 组选择一个偶数： dp[i−1][1]×even_countdp[i-1][1] \times even_count

    dp[i][1]=dp[i−1][0]×odd_count+dp[i−1][1]×even_countdp[i][1] = dp[i-1][0] \times odd_count + dp[i-1][1] \times even_count

4. 初始化

• dp[0][0] = 1：初始状态下，奇数个数为偶数的组合数为 1（空组合）。
• dp[0][1] = 0：初始状态下，奇数个数为奇数的组合数为 0。

5. 结果

• 最终答案是 dp[n][0]，表示前 n 个数字组中，使得奇数个数为偶数的组合数。

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实现代码

以下是完整的 Python 实现：

def solution(numbers):
    n = len(numbers)
    # dp[i][0]: 前 i 组中奇数个数为偶数的组合数
    # dp[i][1]: 前 i 组中奇数个数为奇数的组合数
    dp = [[0, 0] for _ in range(n + 1)]
    
    # 初始化
    dp[0][0] = 1  # 初始奇数个数为偶数
    dp[0][1] = 0  # 初始奇数个数为奇数

    for i in range(1, n + 1):
        even_count = sum(1 for digit in str(numbers[i - 1]) if int(digit) % 2 == 0)
        odd_count = sum(1 for digit in str(numbers[i - 1]) if int(digit) % 2 != 0)
        
        # 状态转移
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] * even_count + dp[i - 1][1] * odd_count
        dp[i][1] = dp[i - 1][0] * odd_count + dp[i - 1][1] * even_count

    # 返回奇数个数为偶数的组合数
    return dp[n][0]

if __name__ == "__main__":
    print(solution([123, 456, 789]) == 14)  # 示例 1
    print(solution([123456789]) == 4)      # 示例 2
    print(solution([14329, 7568]) == 10)   # 示例 3

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测试样例分析

示例 1

输入：

numbers = [123, 456, 789]

分析：

• 第 1 组：偶数 = {2}，奇数 = {1, 3}，偶数个数 = 1，奇数个数 = 2。
• 第 2 组：偶数 = {4, 6}，奇数 = {5}，偶数个数 = 2，奇数个数 = 1。
• 第 3 组：偶数 = {8}，奇数 = {7, 9}，偶数个数 = 1，奇数个数 = 2。
• 有效组合数 = 14。

输出：

14

示例 2

输入：

numbers = [123456789]

分析：

• 唯一一组，偶数个数 = 4，奇数个数 = 5。
• 有效组合数 = 4。

输出：

4

示例 3

输入：

numbers = [14329, 7568]

分析：

• 第 1 组：偶数 = {4, 2}，奇数 = {1, 3, 9}。
• 第 2 组：偶数 = {6, 8}，奇数 = {7, 5}。
• 有效组合数 = 10。

输出：

10

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时间复杂度

1. 统计奇偶数：每组数字需要 O(k)O(k) 的时间，kk 是数字长度。
2. 动态规划：共 nn 组，每组计算转移时是常数时间。
3. 总复杂度：O(n⋅k)O(n \cdot k)。

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空间复杂度

• 动态规划表 O(n)O(n)。

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总结

• 本算法高效解决了从多组数字中选数，使得总和为偶数的组合计数问题。
• 通过动态规划，避免了直接枚举所有组合的暴力方法，提升了性能。