问题描述
小M有n个点，每个点的坐标为(xi,yi)。她可以从一个点出发，平行于坐标轴移动，直到到达另一个点。具体来说，她可以从 (x1,y1) 直接到达 (x2,y1) 或者 (x1,y2)，但无法直接到达 (x2,y2)。为了使得任意两个点之间可以互相到达，小M可以选择增加若干个新的点。
你的任务是计算最少需要增加多少个点，才能保证任意两个点之间可以通过平行于坐标轴的路径互相到达。
测试样例
样例1：
输入：
n = 2, points = [[1, 1], [2, 2]]
输出：1
样例2：
输入：
n = 3, points = [[1, 2], [2, 3], [4, 1]]
输出：2
样例3：
输入：
n = 4, points = [[3, 4], [5, 6], [3, 6], [5, 4]]
输出：0
要解决这个问题，我们需要通过分析点之间的连接性，最小化新增点的数量，确保所有点能够通过平行于坐标轴的路径互相到达。这是一道与图连通性相关的几何问题。
以下为解题思路
解题思路
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点的连接规则：
- 两点可以互相到达的条件是它们在同一行 (x1=x2x_1 = x_2) 或同一列 (y1=y2y_1 = y_2)。换句话说，我们需要把这些点划分为同一行或同一列的连通块。
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连通块的定义：
- 任意两点属于同一个连通块，当且仅当它们之间通过一系列满足上述条件的点可以连通。
- 每个连通块内的点可以直接或间接互相到达。
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目标：
- 计算连通块的数量 kk。
- 我们需要保证所有点属于同一个连通块，因此至少需要新增 k−1k - 1 个点。
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算法设计：
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将问题建模为一个图问题，其中每个点是一个节点：
- 如果两点 (x1,y1)(x_1, y_1) 和 (x2,y2)(x_2, y_2) 满足 x1=x2x_1 = x_2 或 y1=y2y_1 = y_2，它们之间有一条边。
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使用并查集或深度优先搜索 (DFS) 找到所有连通块。
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结果是连通块的数量减去 1，即 k−1k - 1。
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实现方式：
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利用并查集（Union-Find）高效地处理连通性问题。
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构建虚拟节点以减少复杂度：
- 对于每个 xix_i 和 yiy_i，将点的 xx-坐标和 yy-坐标分开存储，并将其归类到同一连通块。
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算法实现
以下是基于并查集的实现：
class UnionFind:
def __init__(self):
self.parent = {}
def find(self, x):
if x not in self.parent:
self.parent[x] = x
if self.parent[x] != x:
self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
return self.parent[x]
def union(self, x, y):
root_x = self.find(x)
root_y = self.find(y)
if root_x != root_y:
self.parent[root_x] = root_y
def min_additional_points(n, points):
uf = UnionFind()
# 建立点的连通性：按 x 和 y 坐标分别分类
for x, y in points:
# 将点的 x 坐标和 y 坐标虚拟为节点，并归并
uf.union(f"x_{x}", f"y_{y}")
# 查找所有独立的连通块
connected_components = set()
for x, y in points:
connected_components.add(uf.find(f"x_{x}"))
connected_components.add(uf.find(f"y_{y}"))
# 连通块的数量
num_connected_components = len(connected_components)
return num_connected_components - 1
测试用例
样例 1：
输入：
n = 2
points = [[1, 1], [2, 2]]
print(min_additional_points(n, points)) # 输出：1
样例 2：
输入：
n = 3
points = [[1, 2], [2, 3], [4, 1]]
print(min_additional_points(n, points)) # 输出：2
样例 3：
输入：
n = 4
points = [[3, 4], [5, 6], [3, 6], [5, 4]]
print(min_additional_points(n, points)) # 输出：0
复杂度分析
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时间复杂度：
- 构建并查集和执行 unionunion 操作：O(n⋅α(n))O(n \cdot \alpha(n))，其中 α(n)\alpha(n) 是反阿克曼函数的复杂度，几乎是常数。
- 遍历所有点和计算连通块：O(n)O(n)。
- 总复杂度：O(n)O(n)。
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空间复杂度：
- 并查集的存储消耗：O(n)O(n)，存储所有虚拟节点。
关键点总结
- 使用并查集解决坐标平面上的连通性问题。
- 虚拟节点将 xx-坐标和 yy-坐标统一建模为连通性问题。
- 输出结果为 连通块数量−1\text{连通块数量} - 1，对应最少新增点的数量。
