二叉树之字形标记路径 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小U在研究一棵无限的二叉树，这棵树具有特殊的标记方式。每个节点都有两个子节点，并且树中的节点逐行依次按“之”字形进行标记：

• 在奇数行（例如，第1行、第3行、第5行……），节点按照从左到右的顺序进行标记。
• 在偶数行（例如，第2行、第4行、第6行……），节点按照从右到左的顺序进行标记。

       1
   /       \
  3         2
 / \       / \
4   5     6   7

给定树上某个节点的标号 label，你的任务是返回从根节点到标号为 label 的节点的路径。路径中的节点依次为经过的节点标号。

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测试样例

样例1：

输入：label = 14
输出：[1, 3, 4, 14]

样例2：

输入：label = 26
输出：[1, 2, 6, 10, 26]

样例3：

输入：label = 1
输出：[1]

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题目理解

这道题考察了一个特殊的无限二叉树：

1. 每一层节点按“之”字形标记。
   • 奇数行（例如第 1 行、第 3 行……）从左到右标记。
   • 偶数行（例如第 2 行、第 4 行……）从右到左标记。
2. 给定一个节点的标号 label，要求输出从根节点到该节点的路径。

例如：

• 输入 label = 14，输出 [1, 3, 4, 14]
• 输入 label = 26，输出 [1, 2, 6, 10, 26]

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解题思路

1. 反向推导路径：

   • 从给定的 label 开始，逐步找到其父节点，直到根节点。
   • 在二叉树中，任何节点的父节点可以通过数学公式推导出来。

2. “之”字形的影响：

   • 对于偶数层节点，节点标号的排列是反转的。需要根据当前层的开始和结束编号对标号进行修正，恢复其在正常二叉树中的父节点。

3. 路径调整：

   • 从目标节点 label 回溯到根节点，得到的路径是从叶节点到根节点的，因此需要反转路径。

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解决方案

以下是 Python 的实现：

def solution(label: int) -> list:
    path = []
    current = label
    
    while current >= 1:
        path.append(current)
        row = current.bit_length()  # 当前节点所在的行
        start = 2 ** (row - 1)      # 当前行起点
        end = 2 ** row - 1          # 当前行终点
        
        # 计算父节点编号
        parent = (start + end - current) // 2
        current = parent

    return path[::-1]  # 反转路径

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案例分析

1. 例子 1：label = 14

   • 14 在第 4 行，起止范围为 [8, 15]，父节点是 4。
   • 4 在第 3 行，起止范围为 [4, 7]，父节点是 3。
   • 3 在第 2 行，起止范围为 [2, 3]，父节点是 1。
   • 根节点是 1。
   • 路径为 [1, 3, 4, 14]。

2. 例子 2：label = 26

   • 26 在第 5 行，起止范围为 [16, 31]，父节点是 10。
   • 10 在第 4 行，起止范围为 [8, 15]，父节点是 6。
   • 6 在第 3 行，起止范围为 [4, 7]，父节点是 2。
   • 2 在第 2 行，起止范围为 [2, 3]，父节点是 1。
   • 路径为 [1, 2, 6, 10, 26]。

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代码复杂度

1. 时间复杂度：

   • 主要在于计算路径的长度，取决于树的高度
   • 时间复杂度为 ( O(h) )。

2. 空间复杂度：

   • 结果路径的长度为 ( O(h) )。

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