MarsCode AI 刷题思路解析：66. 魔法甜点之和：小包的新挑战 | 豆包MarsCode AI刷题小R不再追求

问题描述

小R不再追求甜点中最高的喜爱值，今天他想要的是甜点喜爱值之和正好匹配他的预期值 S。为了达到这个目标，他可以使用魔法棒来改变甜点的喜爱值，使其变为原来喜爱值的阶乘。每个甜点只能使用一次魔法棒，也可以完全不用。

下午茶小哥今天带来了 N 个甜点，每个甜点都有一个固定的喜爱值。小R有 M 个魔法棒，他可以选择任意甜点使用，但每个甜点只能使用一次魔法棒。他的目标是通过选择一些甜点，可能使用魔法棒，使得这些甜点的喜爱值之和恰好为 S。

请计算小R有多少种不同的方案满足他的要求。如果两种方案中，选择的甜点不同，或者使用魔法棒的甜点不同，则视为不同的方案。

数学重述

小 R 面对 N 个甜点，每个甜点都有固定的喜爱值（ like 值）。为了满足他独特的需求，他想要选取一些甜点使得它们的喜爱值之和正好等于 S。为了实现这一目标，小 R 有 M 根魔法棒，每根魔法棒可以将甜点的喜爱值变为该值的阶乘（例如，2 的阶乘为 $2! = 2 \times 1 = 2$ ）。

每个甜点可以：

原样选择。
使用魔法棒变成喜爱值的阶乘。

目标是计算满足条件的所有可能方案的总数。如果两种方案中选择的甜点或使用魔法棒的甜点不同，则视为不同方案。

问题分析

这是一个典型的动态规划问题，但相比传统背包问题增加了以下复杂性：

状态扩展：不仅可以选择甜点原始值，还可以选择其阶乘值。
双重限制：方案受两方面的限制 —— 总和 $S$ 和魔法棒的使用次数 $M$ 。

样例分析

输入： $N = 3, M = 2, S = 6, \text{like} = [1, 2, 3]$

输出： $5$

样例分析： 有 5 种方案让喜爱值之和为 $6$ ：

不使用魔法棒：[1, 2, 3]
使用一次魔法棒：阶乘变换 $3! = 6$ ，结果：[1, 6]

解题思路

使用动态规划（ Dynamic Programming, DP ）来解决，定义状态和转移方式如下：

状态定义：
- $f[a][b]$ ：表示使用了 $a$ 根魔法棒，且选取甜点后总和为 $b$ 的方案数。
状态转移：
- 如果当前甜点使用了魔法棒，其阶乘值加入总和，更新方案数。
- 如果当前甜点不使用魔法棒，其原始值加入总和，更新方案数。

算法步骤

预处理：计算 0 到最大值的阶乘，存储在数组 magic 中，便于快速查询。
初始化状态：初始时 $f[0][0] = 1$ （没有选甜点，没有使用魔法棒，总和为 0 的方案数为 1）。
逐步处理每个甜点：
- 对每种可能的状态 $(a, b)$ ，尝试两种选择：
  - 不使用魔法棒：总和增加原始喜爱值。
  - 使用魔法棒：总和增加阶乘值，并增加魔法棒使用数。
统计结果：所有符合条件的 $f[a][S]$ 累加，得到最终方案数。

代码分解

1. 函数定义与输入解析

定义了解决问题的主函数，参数包括字符串的长度 ( n )、可用操作次数 ( k )、以及由 '0' 和 '1' 组成的字符串 ( s )。通过将字符串转换为列表形式，便于进行后续的字符交换操作。

def solution(n: int, k: int, s: str) -> str:
    s = list(s)  # 将字符串转换为列表以便操作

2. 遍历字符串中的每个字符

逐个检查字符串的每个位置。如果当前字符为 '0'，无需操作，直接跳过。若剩余的操作次数 ( k ) 为 0，说明已经无法再进行交换，直接退出循环。

    for i in range(n):
        if k <= 0:
            break  # 如果没有剩余的操作次数，退出
        
        if s[i] == '0':
            continue  # 如果当前字符是 '0'，则无需移动

3. 寻找并替换右侧的最近 '0'

从当前字符右侧寻找最近的 '0'，并计算将其移动到当前位置所需的交换次数。如果所需交换次数 ( \text{needed_swaps} ) 不超过剩余的操作次数 ( k )，执行交换操作并减少 ( k )。每找到一个可用的 '0' 就退出内层循环，避免重复处理。

        # 需要将字符 '0' 移到当前位置 i 之前
        for j in range(i + 1, n):
            if s[j] == '0':
                # 计算需要的交换次数
                needed_swaps = j - i
                if needed_swaps <= k:
                    # 执行交换
                    for swap in range(j, i, -1):
                        s[swap], s[swap - 1] = s[swap - 1], s[swap]
                    k -= needed_swaps  # 减少可用的交换次数
                break  # 找到一个 '0' 之后就可以退出内层循环

4. 返回最终结果

将修改后的字符列表重新转换为字符串，并返回结果。

    return ''.join(s)

5. 测试代码

通过多组测试用例验证代码的正确性，确保输出符合期望结果。

if __name__ == '__main__':
    print(solution(5, 2, "01010") == '00101')  # True
    print(solution(7, 3, "1101001") == '0110101')  # True
    print(solution(4, 1, "1001") == '0101')  # True

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