AI 刷题2 徒步旅行中的补给问题题解 | 豆包MarsCode AI刷题问题背景想象一下，我们的朋友小R正在进行一

问题背景

想象一下，我们的朋友小R正在进行一场徒步旅行。这次旅程需要 N 天完成。每天，小R都会经过一个补给站，可以购买食物补充能量。不过，补给站的食物价格可不便宜，而且小R的背包只能装 K 份食物，这意味着他需要非常精打细算，才能以最低的花费完成整个旅程。

问题的核心是：

小R每天消耗 1 份食物，但由于背包容量有限，他必须决定何时购买多少食物，才能既满足需求，又最小化支出。

问题描述

输入：
- N: 徒步旅行的总天数。
- K: 背包最多能装的食物份数。
- data[i]: 第 i 天的食物单价。
输出：
- 最低的总花费，让小R能够顺利完成旅程。

动态规划解法的直观解释

我们用 动态规划 来解决这个问题，模拟小R每天背包里的状态，计算出到达每一天时的最小花费。

核心思想

假设我们用 dp[i][j] 表示：

到第 i 天时，背包里剩下 j 份食物的最小花费。

为了计算 dp[i][j]，我们需要考虑：

第 i-1 天的背包里有多少食物剩余（假设为 l）。
第 i 天需要购买多少食物，才能保证背包在消耗 1 份之后，仍然有 j 份食物。

食物购买量为：j - l + 1，需要满足以下条件：

购买量不能超过背包容量 K。
购买量不能为负，即不能“卖出”食物。

状态转移方程

状态转移关系可以表示为：

dp[i][j]=min⁡(dp[i][j],dp[i−1][l]+(j−l+1)×data[i−1])dp[i][j] = \min(dp[i][j], dp[i-1][l] + (j - l + 1) \times data[i-1])dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i−1][l]+(j−l+1)×data[i−1])

其中：

l 是第 i-1 天剩余的食物量。
(j - l + 1) 是第 i 天需要购买的食物数量。

动态规划实现（C++）

以下是完整的 C++ 实现代码：

cpp
复制代码
#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits> // for INT_MAX
using namespace std;

int solution(int n, int k, vector<int> data) {
    // 初始化 dp 数组
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(k + 1, INT_MAX));
    dp[0][0] = 0; // 第 0 天无花费

    // 动态规划计算最优解
    for (int i = 1; i <= n; i++) {           // 遍历每一天
        for (int j = 0; j <= k; j++) {       // 当前背包剩余食物量
            for (int l = 0; l <= k; l++) {   // 前一天背包剩余食物量
                int buy = j - l + 1;         // 需要购买的食物数量
                if (buy >= 0 && buy <= k) {  // 确保合法
                    if (dp[i - 1][l] != INT_MAX) { // 前一天有解
                        dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][l] + buy * data[i - 1]);
                    }
                }
            }
        }
    }

    // 返回结果：第 n 天背包空的最小花费
    return dp[n][0];
}

int main() {
    // 测试样例
    cout << (solution(5, 2, {1, 2, 3, 3, 2}) == 9) << endl;
    cout << (solution(6, 3, {4, 1, 5, 2, 1, 3}) == 9) << endl;
    cout << (solution(4, 1, {3, 2, 4, 1}) == 10) << endl;
    return 0;
}

解题过程与优化

如何理解状态转移？

我们以 solution(5, 2, {1, 2, 3, 3, 2}) 为例：

第 1 天：
- 小R需要买 1 份食物，花费 1。
- 背包中剩余 1 份食物，状态为 dp[1][1] = 1。
第 2 天：
- 小R从背包中取出 1 份食物，背包空了。
- 他又需要买 2 份，背包装满，花费 2 * 2 = 4，状态为 dp[2][2] = 5。
依此类推，动态规划会逐步计算每一天的最优策略。

时间复杂度分析

三重循环：
- 天数循环：O(n)
- 背包剩余状态循环：O(k)
- 状态转移循环：O(k)
总时间复杂度：O(n * k^2)。

思考与优化

1. 空间优化

我们可以使用滚动数组，将二维数组优化为一维数组，减少空间消耗。

2. 加速状态转移

利用单调队列维护最小值，可以将状态转移的复杂度从 O(k) 降低到 O(1)，整体时间复杂度降为 O(n * k)。

AI 刷题2 徒步旅行中的补给问题 题解 | 豆包MarsCode AI刷题