要解决这个问题，我们需要计算满足特定条件的五元组 (i, j, k, h, l) 的个数，并且需要符合如下条件：
-
索引条件：满足 。
-
元素条件：
-
-
-
为了高效地解决问题，可以利用哈希表（字典）来跟踪可能的候选对和四元组的数量，并且避免暴力方法的高时间复杂度。
解题思路：
- 初步条件：
- 我们需要遍历数组，并且维护一个状态来跟踪 (a_i, a_j) 和 (a_k, a_l) 对。
- 步骤分解：
- 第一步：我们首先计算 (i, j) 对，它们满足 a_i > a_j。这些对将用于后续的四元组和五元组构建。
- 第二步：然后，我们计算 (i, j, k) 四元组，它们满足 a_i = a_k，并且 a_i > a_j。我们通过检查 a_i 和 a_j 是否已经构建了对应的对来加速计算。
- 第三步：我们计算 (i, j, k, h) 五元组。通过再次检查 a_j = a_h 和 a_i = a_k = a_l 条件，并最终对符合条件的五元组数量进行累加。
- 数据结构：
- 使用字典 count_a_i_a_j 来保存满足 a_i > a_j 的 (i, j) 对。
- 使用字典 count_a_i_a_j_a_k 来保存满足 a_i = a_k 和 a_i > a_j 的 (i, j, k) 四元组。
- 时间复杂度：
- 我们使用字典进行频次统计和更新，因此每次操作的时间复杂度为 O(1)。遍历数组一次进行三次更新操作，总体时间复杂度为 O(n^2)，比暴力的 O(n^5) 要高效得多。
代码实现：
def solution(n: int, a: list) -> int:
MOD = 10**9 + 7
count_w5 = 0
# Count dictionaries for different patterns
count_a_i_a_j = {}
count_a_i_a_j_a_k = {}
# Traverse the array to calculate w-five tuples
for k in range(n):
# Step 3: Finalize counting of w-five tuples when conditions are met
if a[k] in count_a_i_a_j_a_k:
count_w5 = (count_w5 + count_a_i_a_j_a_k[a[k]]) % MOD
# Step 2: Update four-tuple counts for potential w-five tuples
for j in range(k):
if a[j] < a[k]: # Ensure a_i > a_j condition
pair = (a[k], a[j])
if pair in count_a_i_a_j:
count_a_i_a_j_a_k[a[k]] = count_a_i_a_j_a_k.get(a[k], 0) + count_a_i_a_j[pair]
# Step 1: Update two-tuple counts
for i in range(k):
if a[i] > a[k]: # Ensure a_i > a_j condition
pair = (a[i], a[k])
count_a_i_a_j[pair] = count_a_i_a_j.get(pair, 0) + 1
return count_w5
if __name__ == '__main__':
# 测试用例
print(solution(7, [3, 1, 3, 1, 3, 1, 3]) == 6)
print(solution(6, [2, 1, 2, 1, 2, 1]) == 1)
print(solution(5, [5, 3, 5, 3, 5]) == 1)
解析：
1. 计算 (i, j) 对：
- 对于每个 i 和 j，如果满足 a[i] > a[j]，我们将它们作为一个可能的 (i, j) 对存储在字典 count_a_i_a_j 中。
2. 计算 (i, j, k) 四元组：
- 当我们处理到第 k 个元素时，我们需要检查是否有满足 a_i = a_k 的对，这样就可以形成四元组 (i, j, k)。对于每一个符合条件的 (i, j) 对，我们累加四元组的数量到字典 count_a_i_a_j_a_k 中。
3. 计算 (i, j, k, h, l) 五元组：
- 当我们处理到第 k 个元素时，我们检查是否有已存在的四元组，最终将符合条件的五元组数量累加到 count_w5 中。
测试用例：
-
输入
[3, 1, 3, 1, 3, 1, 3]，输出6。六个符合条件的五元组。 -
输入
[2, 1, 2, 1, 2, 1]，输出1。只有一个五元组。 -
输入
[5, 3, 5, 3, 5]，输出1。只有一个五元组。
总结：
这个算法通过使用字典来有效地记录和计算符合条件的 (i, j)、(i, j, k) 和 (i, j, k, h) 四元组，避免了暴力求解的高时间复杂度，成功将问题的时间复杂度降低到 O(n^2)，并且能正确计算所有满足条件的五元组。
