1.题目
问题描述
小M有 n 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 ai，背面是 bi。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 10^9+7 取模。
例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。
测试样例
样例1：
输入：
n = 3 ,a = [1, 2, 3] ,b = [2, 3, 2]输出：3
样例2：
输入：
n = 4 ,a = [3, 1, 2, 4] ,b = [1, 2, 3, 1]输出：6
样例3：
输入：
n = 5 ,a = [1, 2, 3, 4, 5] ,b = [1, 2, 3, 4, 5]输出：32
2.思路
动态规划
- 状态定义
dp[i][j] 表示前 i 张卡牌中，选择某些卡牌使得它们的数字和模 3 等于 j 的方案数。
-
状态转移： 对于第
i张卡牌，其正反面数字为a[i-1]和b[i-1]：- 如果选择正面，数字之和模 3 的更新公式为：
dp[i][(j+a[i−1])%3]+=dp[i−1][j] - 如果选择背面，数字之和模 3 的更新公式为：
dp[i][(j+b[i−1])%3]+=dp[i−1][j]
- 如果选择正面，数字之和模 3 的更新公式为：
dp[i-1][j]：前 i-1 张卡牌中余数为 j 的方案数。假设取正面，余数变为(j+a[i−1])%3
状态 (j + a[i]) % 3 和 (j + b[i]) % 3 都可能被多个路径触及。为了记录所有可能路径的方案数，我们需要对它们进行累加，故使用 +=。
计算时，需要对 10^9 + 7 取模。
dp[i][(j + a[i]) % 3] = (dp[i][(j + a[i]) % 3] + dp[i-1][j]) % MOD;
dp[i][(j + b[i]) % 3] = (dp[i][(j + b[i]) % 3] + dp[i-1][j]) % MOD;
初始状态：
dp[0][0] = 1，表示前 0 张卡牌和为 0 的方案数为 1。- 其他状态
dp[0][1] = dp[0][2] = 0。
结果计算：
dp[n][0]即为答案。
示例：
假设有 2 张卡牌，正反面数字为：
- 卡牌 1：
a[1] = 1,b[1] = 2 - 卡牌 2：
a[2] = 3,b[2] = 2
初始状态：
dp[0][0] = 1 （没有选卡牌，余数为 0）
dp[0][1] = dp[0][2] = 0
处理第 1 张卡牌：
选择 a[1] = 1:
dp[1][(0 + 1) % 3] = dp[1][1] + dp[0][0] = 0 + 1 = 1
选择 b[1] = 2:
dp[1][(0 + 2) % 3] = dp[1][2] + dp[0][0] = 0 + 1 = 1
结果：
dp[1][0] = 0
dp[1][1] = 1
dp[1][2] = 1
3.代码
我的代码
public class Main {
public static int solution(int n, int[] a, int[] b) {
// write code here
final int MOD = 1000000007;
int[][] dp = new int[n + 1][3];
dp[0][0] = 1;
//第1张牌到第n张牌
for (int i = 1; i <= n; i++){
//正面
int front = a[i-1];
//反面
int back = b[i-1];
for(int j = 0; j < 3;j++){
dp[i][(j+front)%3] = (dp[i][(j+front)%3] + dp[i-1][j]) % MOD;
dp[i][(j+back)%3] = (dp[i][(j+back)%3] + dp[i-1][j]) % MOD;
}
}
return dp[n][0]; // Placeholder return
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(solution(3, new int[] { 1, 2, 3 }, new int[] { 2, 3, 2 }) == 3);
System.out.println(solution(4, new int[] { 3, 1, 2, 4 }, new int[] { 1, 2, 3, 1 }) == 6);
System.out.println(solution(5, new int[] { 1, 2, 3, 4, 5 }, new int[] { 1, 2, 3, 4, 5 }) == 32);
}
}
参考代码
public static int solution(int n, int[] a, int[] b)
{
final int MOD = 1000000007;
int[][] dp = new int[n + 1][3];
// 初始化
dp[0][0] = 1; // 前0张卡牌和为0的方案数为1
// 动态规划
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
int front = a[i - 1]; // 当前卡牌正面数字
int back = b[i - 1]; // 当前卡牌背面数字
for (int j = 0; j < 3; j++)
{
// 转移方程：选择正面或背面
dp[i][(j + front) % 3] = (dp[i][(j + front) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD;
dp[i][(j + back) % 3] = (dp[i][(j + back) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD;
}
}
return dp[n][0];
}
4.参考资料
卡牌翻面求和问题 | 豆包MarsCode AI刷题问题描述 小M有 n 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字 a - 掘金
