完美整数

题目解析

这道题的目的是判断给定区间 [x,y][x,y] 中有多少个整数是完美整数。一个整数被定义为完美整数的条件是，它的所有数字必须相同。例如，1、11、333 是完美整数，而 12、101、19 不是。目标是计算区间中满足这个条件的所有整数的个数。

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问题分解

1. 什么是完美整数
   完美整数的关键特征是其数字构成的唯一性：

   • 如果一个数的所有数字都相同，它是完美整数。
   • 例如：
     • 1: 只有一个数字，自然是完美整数。
     • 11: 两个数字，且相同，是完美整数。
     • 333: 所有数字为 3，是完美整数。
     • 12: 数字不同，不是完美整数。

2. 区间定义
   问题要求在区间 [x,y][x,y] 中找到所有的完美整数。注意以下情况：

   • 如果 x=yx=y，区间只有一个数，直接判断这个数是否完美。
   • 如果 x>yx>y，区间无效，结果为 0。
   • 如果 x<yx<y，需要遍历区间中的每个整数，并逐一判断其是否满足完美整数的条件。

3. 判断完美整数的规则

   • 将数字转化为字符串。
   • 检查字符串中的所有字符是否相同。如果所有字符相同，则该数字是完美整数。

4. 完美整数的生成规律
   从数学的角度看，完美整数的分布具有一定规律：

   • 单位数范围内（1 至 9），所有数字都是完美整数。
   • 两位数范围内，完美整数只有 11、22、33 等形式，数量为 9。
   • 三位数范围内，完美整数包括 111、222、333 等形式，数量仍为 9。
   • 一般而言，对于任意位数 dd 的范围，其完美整数形式数量固定为 9。

   这意味着可以通过构造完美整数的方式高效地解决问题，而无需遍历所有整数。

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解题思路

1. 暴力枚举

   • 遍历区间 [x,y][x,y] 中的每个整数，逐个判断是否是完美整数。
   • 将数字转化为字符串，检查每个字符是否都相同。

   优点:

   • 简单直观，容易实现。

   缺点:

   • 当区间长度很大时效率较低，例如 x=1,y=106x=1,y=106。

2. 优化策略

   • 使用完美整数的生成规律避免逐个判断：
     • 在单位数范围内，所有数字都是完美整数。
     • 在两位数范围内，只需要生成 11、22、...、99。
     • 在三位数范围内，只需要生成 111、222、...、999。
   • 利用数学公式构造完美整数：
     • 对于任意位数 dd，完美整数可以用公式表示：n×(10k−1)/9n×(10k−1)/9，其中 nn 是 11 到 99。

   优点:

   • 不需要遍历区间中的每个整数，生成方式更高效。
   • 当区间较大时，显著减少了不必要的计算。

3. 步骤总结

   • 如果 xx 和 yy 在单位数范围内，直接统计个数即可。
   • 如果区间跨越了多个位数范围（例如 [5,150][5,150]），可以分段处理：
     • 单位数范围：直接统计个数。
     • 两位数范围：生成 11 到 99，统计在区间内的数字。
     • 三位数范围：生成 111 到 999，统计在区间内的数字。
   • 返回统计结果。

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测试样例分析

样例 1

• 输入: x = 1, y = 10
• 分析:
  • 单位数范围内的所有数字都是完美整数。
  • 完美整数为：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。
  • 数量为 9。
• 输出: 9

样例 2

• 输入: x = 2, y = 22
• 分析:
  • 单位数范围内的完美整数为：2, 3, 4, ..., 9，共 8 个。
  • 两位数范围内的完美整数为：11, 22，共 2 个。
  • 总数量为 8 + 2 = 10。
• 输出: 10

样例 3

• 输入: x = 1, y = 100
• 分析:
  • 单位数范围内的完美整数为：1, 2, ..., 9，共 9 个。
  • 两位数范围内的完美整数为：11, 22, ..., 99，共 9 个。
  • 总数量为 9 + 9 = 18。
• 输出: 18

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时间复杂度分析

1. 暴力枚举

   • 对区间 [x,y][x,y] 中每个整数进行字符串比较，时间复杂度为 O((y−x+1)×d)O((y−x+1)×d)，其中 dd 是数字的位数。
   • 对于较大区间，性能可能无法满足要求。

2. 优化策略

   • 通过生成规律，仅对有限的完美整数进行筛选：
     • 单位数和两位数范围固定为常数操作。
     • 高位数范围内完美整数的数量随位数增加而增大，但其生成和判断过程仍为常数操作。
   • 总体复杂度约为 O(log⁡10(y))O(log10​(y))。

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` public class Main { public static boolean isPerfect(int num) { String numStr = Integer.toString(num); char firstChar = numStr.charAt(0);

    // 检查是否所有的字符都相同
    for (int i = 1; i < numStr.length(); i++) {
        if (numStr.charAt(i) != firstChar) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

public static int solution(int x, int y) {
    int count = 0;

    // 遍历区间中的每个整数，判断是否是完美整数
    for (int i = x; i <= y; i++) {
        if (isPerfect(i)) {
            count++;
        }
    }
    return count;
}

public static void main(String[] args) {
    // Add your test cases here
    
    System.out.println(solution(1, 10) == 9);
    System.out.println(solution(2, 22) == 10);
}

} `

总结

这道题利用完美整数的生成规律可以大幅减少判断次数，尤其是当区间较大时。优化策略避免了暴力枚举带来的低效操作，是解决该问题的关键。在实际应用中，可根据区间范围灵活选择暴力法或生成法，以实现更高效的解法。