动态规划在兔子繁殖问题中的应用 ｜豆包MarsCode AI刷题

动态规划在兔子繁殖问题中的应用

这个问题本质上是一个斐波那契数列的变种，规律如下：

• 第 1 个月末：1 对兔子。
• 第 2 个月末：2 对兔子。
• 从第 3 个月开始：总兔子数 = 上个月的总兔子数 + 上上个月的总兔子数。

动态规划的核心思想是将复杂问题分解为子问题，通过记录中间状态避免重复计算，降低时间复杂度。

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问题分析与解法梳理

1. 状态定义
   用 dp[i] 表示第 i 个月末兔子的总对数。

2. 状态转移方程
   根据题目规律：

   dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]

   解释：

   • dp[i−1]dp[i-1]dp[i−1]：上个月的兔子总数（保留原有的成年兔子）。
   • dp[i−2]dp[i-2]dp[i−2]：上上个月的成年兔子，繁殖出的小兔子数。

3. 初始条件

   • dp[1]=1dp[1] = 1dp[1]=1：第 1 个月末有 1 对兔子。
   • dp[2]=2dp[2] = 2dp[2]=2：第 2 个月末有 2 对兔子。

4. 结果表达式
   返回 dp[A]，即第 A 个月末兔子的总对数。

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动态规划代码实现

以下是 Python 实现：

def rabbit_population(A):
    # 初始条件
    if A == 1:
        return 1
    if A == 2:
        return 2
    
    # 动态规划数组
    dp = [0] * (A + 1)
    dp[1], dp[2] = 1, 2
    
    # 状态转移
    for i in range(3, A + 1):
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    
    return dp[A]

# 测试用例
print(rabbit_population(1))  # 输出: 1
print(rabbit_population(5))  # 输出: 8
print(rabbit_population(15)) # 输出: 987

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优化版本（滚动数组）

由于动态规划只依赖最近两个状态值，可以通过滚动数组优化空间复杂度，从 O(A)O(A)O(A) 降为 O(1)O(1)O(1)：

def rabbit_population(A):
    if A == 1:
        return 1
    if A == 2:
        return 2
    
    prev, curr = 1, 2
    for _ in range(3, A + 1):
        prev, curr = curr, prev + curr
    
    return curr

# 测试用例
print(rabbit_population(1))  # 输出: 1
print(rabbit_population(5))  # 输出: 8
print(rabbit_population(15)) # 输出: 987

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对入门同学的学习建议

1. 理解问题本质
   这类问题的核心在于识别递推关系，结合动态规划的思想，通过保存中间结果避免重复计算。

2. 明确动态规划四要素

   • 状态定义
   • 状态转移方程
   • 初始条件
   • 最终结果表达式

3. 学习空间优化
   动态规划初学者往往直接创建数组存储所有状态，但对于类似斐波那契数列的问题，可以通过变量滚动降低空间复杂度。

4. 举例验证递推
   在手动验证 dp[i]dp[i]dp[i] 的变化规律时，多画图、多代入几组小规模数据。

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总结

这道题是动态规划的经典入门问题。通过对状态转移方程的推导，逐步掌握递推公式和优化技巧，可以为日后更复杂的动态规划问题打下扎实基础。