《最少前缀操作问题》| 豆包MarsCode AI刷题

笔记：最少前缀操作问题

问题描述

输入输出

• 输入：三个参数，n 表示数组 data 的长度，k 表示每个步骤中可以选择的元素数量的上限，data 是包含成本的数组。
• 输出：一个整数，表示在给定条件下的最小总成本。

算法设计

1. 初始化动态规划表：创建一个 (n+1) x (k+1) 的二维数组 dp，所有值初始化为无穷大（float('inf')），dp[0][0] 初始化为0，表示在没有元素和没有选择的情况下成本为0。
2. 填充动态规划表：使用三层循环遍历 dp 表，外层循环遍历 data 数组，中间循环遍历可能的选择数量 l，内层循环遍历上一步的选择数量 j。
3. 状态转移：对于每个 i 和 l，计算从 dp[i-1][j] 到 dp[i][l] 的最小成本，条件是 l - j + 1 在 0 到 k 之间，表示当前步骤可以选择的元素数量。
4. 计算最小成本：更新 dp[i][l] 为 dp[i-1][j] + (l - j + 1) * data[i-1] 的最小值。

代码实现

def solution(n, k, data):
    dp = [[float('inf')] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    dp[0][0] = 0
    
    for i in range(1, n + 1):
        for l in range(k):
            for j in range(k):
                if l - j + 1 >= 0 and l - j + 1 <= k:
                    dp[i][l] = min(dp[i][l], dp[i - 1][j] + (l - j + 1) * data[i - 1])
    return dp[n][0]

测试样例

• 测试样例1：solution(5, 2, [1, 2, 3, 3, 2]) 返回 9。
• 测试样例2：solution(6, 3, [4, 1, 5, 2, 1, 3]) 返回 9。
• 测试样例3：solution(4, 1, [3, 2, 4, 1]) 返回 10。

总结

这个算法通过动态规划的方法，有效地解决了在给定条件下最小化成本的问题。它的时间复杂度是 O(n * k^2)，其中 n 是数组 data 的长度，k 是每个步骤中可以选择的元素数量的上限。