青训营X豆包MarsCode--最大矩形面积题解 | 豆包MarsCode AI刷题问题描述小S最近在分析一个数组

问题描述

小S最近在分析一个数组 h1,h2,...,hNh1,h2,...,hN，数组的每个元素代表某种高度。小S对这些高度感兴趣的是，当我们选取任意 kk 个相邻元素时，如何计算它们所能形成的最大矩形面积。

对于 kk 个相邻的元素，我们定义其矩形的最大面积为：

R(k)=k×min(h[i],h[i+1],...,h[i+k−1])R(k)=k×min(h[i],h[i+1],...,h[i+k−1])

即，R(k)R(k) 的值为这 kk 个相邻元素中的最小值乘以 kk。现在，小S希望你能帮他找出对于任意 kk，R(k)R(k) 的最大值。

测试样例

样例1：

输入：n = 5, array = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：9

样例2：

输入：n = 6, array = [5, 4, 3, 2, 1, 6]
输出：9

样例3：

输入：n = 4, array = [4, 4, 4, 4]
输出：16

Code：

using namespace std;
int solution(int n, int array[]) {
    // Edit your code here
    int currenth,currentw;
    int sum=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        currenth=array[i];
        currentw=1;
        for(int j=i-1;j>=0;j--){
            if(array[j]>=currenth){
                currentw+=1;
            }else{
                break;
            }
        }
        for(int j=i+1;j<n;j++){
            if(array[j]>=currenth){
                currentw+=1;
            }else{
                break;
            }
        }
        sum=max(sum,currenth*currentw);
    }
    return sum;
}

int main() {
    // Add your test cases here
    
    std::cout << (solution(5, new int[5]{1, 2, 3, 4, 5}) == 9) << std::endl;
    return 0;
}

代码梳理与分析

功能分析

目标：
- 给定一个整数数组，代表一组矩形柱的高度，找到其中能构成的最大矩形面积。
- 条件是矩形的宽度不能超过相邻柱子的范围（只能延展到高度大于等于当前柱子高度的位置）。
方法：
- 对每个柱子，依次检查向左和向右能够延展的最大宽度，然后计算以该柱子为高度的矩形面积。
- 遍历所有柱子，找出能够形成的最大矩形面积。

核心逻辑

代码分为三个部分：

遍历数组中的每个柱子 array[i]，将其视为矩形的高度。
向左和向右扩展：
- 左侧扩展：找到左边第一个比当前柱子矮的位置，计算左侧能覆盖的宽度。
- 右侧扩展：找到右边第一个比当前柱子矮的位置，计算右侧能覆盖的宽度。
计算矩形面积，并更新最大值。

代码细节

初始化：
```
int currenth, currentw;
int sum = 0;
```
- currenth 表示当前柱子的高度。
- currentw 表示以当前柱子为高度的矩形宽度。
- sum 用来存储矩形面积的最大值。

遍历柱子：

for (int i = 0; i < n; i++) {
    currenth = array[i]; // 当前柱子的高度
    currentw = 1;        // 初始宽度为1（仅包含当前柱子）

向左扩展：

for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {
    if (array[j] >= currenth) {
        currentw += 1; // 左侧柱子满足条件，宽度增加
    } else {
        break; // 左侧柱子不满足条件，停止扩展
    }
}

向右扩展：

for (int j = i + 1; j < n; j++) {
    if (array[j] >= currenth) {
        currentw += 1; // 右侧柱子满足条件，宽度增加
    } else {
        break; // 右侧柱子不满足条件，停止扩展
    }
}

计算面积并更新最大值：
```
sum = max(sum, currenth * currentw);
```
返回最大矩形面积：
```
return sum;
```

示例执行流程

测试用例

输入：

n = 5, array = {1, 2, 3, 4, 5};

流程分析：

i = 0（柱子高度为1）：
- 左侧无扩展（宽度=0）。
- 右侧扩展到索引4（宽度=4）。
- 面积：1 * 5 = 5。
i = 1（柱子高度为2）：
- 左侧扩展到索引0（宽度=1）。
- 右侧扩展到索引4（宽度=3）。
- 面积：2 * 4 = 8。
i = 2（柱子高度为3）：
- 左侧扩展到索引0（宽度=2）。
- 右侧扩展到索引4（宽度=2）。
- 面积：3 * 3 = 9。
i = 3（柱子高度为4）：
- 左侧扩展到索引0（宽度=3）。
- 右侧扩展到索引4（宽度=1）。
- 面积：4 * 3 = 8。
i = 4（柱子高度为5）：
- 左侧扩展到索引0（宽度=4）。
- 右侧无扩展（宽度=0）。
- 面积：5 * 1 = 5。

最大矩形面积为 9。

代码性能分析

时间复杂度：
- 外层循环遍历所有柱子，时间复杂度为 O(n)。
- 每次循环中，左右各一次扩展操作，每次最多扩展到数组的两端，最坏情况为 O(n)。
- 总时间复杂度为 O(n^2)，在数组较大时性能较差。
空间复杂度：
- 仅使用几个变量存储临时值，空间复杂度为 O(1)。

优点与缺点

优点：
- 简单直观，容易理解。
- 不需要额外的数据结构。
缺点：
- 时间复杂度较高，无法应对较大的数据量。
- 每次扩展操作的范围是重复计算，效率低。

优化与改进

可以利用单调栈优化时间复杂度至 O(n) ：

单调栈存储柱子的索引，维护一个递增序列。
在遇到当前柱子高度小于栈顶柱子时，计算栈顶柱子作为高度的最大矩形面积，并更新最大值。
通过栈的操作避免了重复遍历。

总结心得

思路清晰：当前代码是基于暴力解法，按照题目要求逐步构建解决方案。
可优化性：
- 使用单调栈优化扩展过程，可以显著提高效率。
算法设计原则：
- 应尽量减少重复计算，特别是在需要处理较大数据量时，时间复杂度的优化尤为重要。
学习体会：
- 通过这个题目可以熟悉矩形面积问题的基本解决思路，同时了解如何分析和优化算法。

经验总结：最大矩形面积问题

通过实现和分析这道算法题，以下是一些个人总结的经验：

1. 解决问题需要清晰的思路

在面对复杂问题时，将问题拆分为可管理的子任务是关键。
- 本题中，矩形面积 = 高度 × 宽度。明确宽度和高度的确定条件后，问题的解决变得更加直观。
暴力解法提供了一个基础解决方案，是理解问题的起点。
在暴力解法的基础上，可以发现问题的低效部分，例如重复计算，从而寻找优化的方向。

2. 算法优化的本质：减少冗余计算

优化算法的目标是减少不必要的重复操作。
- 本题中，暴力解法需要从当前柱子分别向左右扩展，耗费 O(n^2) 时间。
- 单调栈优化则通过预先维护索引信息，避免重复扩展，直接将时间复杂度降低到 O(n)。

3. 数据结构的选择是算法优化的关键

单调栈是本题优化的核心：
- 栈中存储的索引不仅有序，还包含了隐式的范围信息，省去了逐个扩展的过程。
- 利用栈的“后进先出”特性，可以快速计算矩形的宽度。
合适的数据结构往往能够有效提升算法性能。例如：
- 单调栈适用于需要动态维护顺序的场景。
- 哈希表适合快速查找。
- 优先队列则适合处理动态最大或最小值的问题。

4. 测试案例设计的重要性

充分的测试可以验证算法的正确性和鲁棒性。测试用例应包含：
- 基本情况：如数组中只有一个柱子。
- 特殊情况：如所有柱子高度相等，或高度为零。
- 边界情况：如数组为空或只有一个元素。

本题中的测试用例：

cpp
复制代码
solution({1, 2, 3, 4, 5});    // 单调递增
solution({5, 4, 3, 4, 5});    // 中间最低
solution({2, 1, 5, 6, 2, 3}); // 混合数据

5. 暴力解法和优化解法并存的价值

暴力解法：
- 虽然效率低，但实现简单，适合快速验证算法是否正确。
- 对于小规模问题，这种方法的时间消耗是可以接受的。
优化解法：
- 提升性能，适合大规模数据的处理。
- 通过引入额外的数据结构（如栈），可以充分发挥时间复杂度上的优势。

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