一、什么是二进制数组中的反转子数组
反转子数组是指在给定的二进制数组中，将一段连续的子数组进行反转操作。例如，对于数组 [1,0,1,0,1]，如果反转子数组 [0,1,0]，则结果为 [1,0,0,1,1]。
在实际的编程问题中，反转子数组的操作常常出现在一些算法题目中。比如在力扣（LeetCode）中，有这样一个问题：给你一个整数数组 nums。「数组值」定义为所有满足 0 <= i < nums.length - 1 的 |nums [i]-nums [i+1]| 的和。你可以选择给定数组的任意子数组，并将该子数组翻转。但你只能执行这个操作一次。请你找到可行的最大数组值。
其解题思路是通过枚举所有可能性来求解。设数组 nums 的长度为 n。原数组的数组值的表达式为 value1 =∑i=0n−2|nums [i +1] − nums [i]|。假设我们选择起点下标为 j，终点下标为 k (j ≤ k) 的子数组进行翻转，下面进行讨论：
- j = k，此时不难发现执行翻转操作后的数组的数组值 value2 = value1。
- j = 0 且 k = n - 1，此时 value2 = value1。
- j = 0 且 k <n - 1，此时 value2 = ∑i=0k−1|nums [i +1] − nums [i]| + |nums [k + 1] − nums [0]| + ∑i=k+1n−1|nums [i +1] − nums [i]|。可以得到 value2 = value1 - |nums [k + 1] − nums [k]| + |nums [k + 1] − nums [0]|。这种情况下 value2 的最大值可以通过遍历 k 获得。
- j > 0 且 k = n - 1。此时 value2 = value1 - |nums [j] − nums [j - 1]| + |nums [n - 1] − nums [j - 1]|。这种情况下 value2 的最大值可以通过遍历 j 获得。
- j > 0 且 k <n - 1。此时 value2 = value1 - |nums [j] − nums [j - 1]| - |nums [k + 1] − nums [k]| + |nums [k] − nums [j - 1]| + |nums [k + 1] − nums [j]|。令 δ = -|nums [j] − nums [j - 1]| - |nums [k + 1] − nums [k]| + |nums [k] − nums [j - 1]| + |nums [k + 1] − nums [j]|，则 value2 = value1 + δ。因为 value1 为定值，为了使 value2 取得最大值，需要求出 δ 的最大值。
为了降低时间复杂度，仍要进行讨论。假设 nums [j − 1], nums [j], nums [k], nums [k + 1] 四个数由小到大排列的值分别为 a, b, c, d，下面进行讨论：
- |nums [j] − nums [j − 1]| = b - a，|nums [k + 1] − nums [k]| = d - c，则 δ = - (b - a) - (d - c) + nums [k - nums [j - 1] + nums [k + 1] - nums [j] = 2 × (c - b)。
- |nums [j] − nums [j − 1]| = d - c，|nums [k + 1] − nums [k]| = b - a，则 δ = - (d - c) - (b - a - nums [k] + nums [j - 1] - nums [k + 1] + nums [j] = 2 × (c - b)。即同上。
- |nums [j] − nums [j − 1]| = c - a，|nums [k + 1] − nums [k]| = d - b。此时 δ = a + b - c - d + |nums [k] − nums [j - 1]| + |nums [k + 1] − nums [j]|。可以发现这时 δ 不可能为正数，因为最大的两项已经为负数，后四项为两正两负，无法使 δ 为正数。
- |nums [j] − nums [j − 1]| = d - a，|nums [k + 1] − nums [k]| = c - b。此时 δ = a + b - c - d + |nums [k] - nums [j - 1]| + |nums [k + 1] − nums [j]|。同上。
- |nums [j] − nums [j − 1]| = c - b，|nums [k + 1] − nums [k]| = d - a。同上。
- |nums [j] − nums [j − 1]| = d - b，|nums [k + 1] − nums [k]| = c - a。同上。
讨论完六种情况后发现只有两种情况下 δ 可能为正。这两种情况下，均是求 2 × (c - b)。即两个相邻数对，当一个数对的较大值小于另一个数对的较小值时，求差值的两倍。我们需要求出这个差值的两倍的最大值。求出 δ 的最大值后，加上 value1，即为 value2 的最大值。最后再求出这五种情况下的最大值即可返回结果。
另外，在 LeetCode98 中也有涉及反转子数组的问题：给你两个长度相同的整数数组 target 和 arr。每一步中，你可以选择 arr 的任意非空子数组并将它翻转。你可以执行此过程任意次。如果你能让 arr 变得与 target 相同，返回 True；否则，返回 False。
例如，输入 target = [1,2,3,4], arr = [2,4,1,3]，输出为 true。解释：你可以按照如下步骤使 arr 变成 target：1 - 翻转子数组 [2,4,1]，arr 变成 [1,4,2,3]；2 - 翻转子数组 [4,2]，arr 变成 [1,2,4,3]；3 - 翻转子数组 [4,3]，arr 变成 [1,2,3,4]。上述方法并不是唯一的，还存在多种将 arr 变成 target 的方法。
二、反转子数组的实现方法
1. 枚举所有可能性
思路是设数组的长度为 。原数组的数组值表达式为 。通过讨论不同情况下的子数组反转，计算出的值，最终求出最大值。
我们可以通过枚举所有可能的子数组进行反转来求解最大数组值。假设我们选择起点下标为 ，终点下标为 （ ）的子数组进行翻转，下面进行讨论：
- ，此时不难发现执行翻转操作后的数组的数组值 。
- 且 ，此时 。
- 且 ，此时 。可以得到 。这种情况下 的最大值可以通过遍历 获得。
- 且 。此时 。这种情况下 的最大值可以通过遍历 获得。
- 且 。此时 。令 ，则 。因为 为定值，为了使 取得最大值，需要求出 的最大值。
为了降低时间复杂度，仍要进行讨论。假设 ， ， ， 四个数由小到大排列的值分别为 ， ， ， ，下面进行讨论：
- ， ，则 。
- ， ，则 。即同上。
- ， 。此时 。可以发现这时 不可能为正数，因为最大的两项已经为负数，后四项为两正两负，无法使 为正数。
- ， 。此时 。同上。
- ， 。同上。
- ， 。同上。
讨论完六种情况后发现只有两种情况下 可能为正。这两种情况下，均是求 。即两个相邻数对，当一个数对的较大值小于另一个数对的较小值时，求差值的两倍。我们需要求出这个差值的两倍的最大值。求出 的最大值后，加上 ，即为 的最大值。最后再求出这五种情况下的最大值即可返回结果。
2. 暴力求解方法
对于最大子数组问题，可以使用暴力求解方法，其运行时间为 。基本思想是对于数组中的每个元素，都计算以该元素为起点的所有可能子数组的和，并记录出现的最大和和该子数组的起始和结束。
我们以求解最大子数组问题为例，通过保存二维数组的上一个计算结果，即 的和，来计算 的和。具体实现如下：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <climits>
struct Sub{
int low;
int high;
int sum;
};
Sub FindMaximumSubarray(const int array[],int count){
int sum[count][count];
Sub maxSub ={0,0,-INT_MIN};
for(int i = 0; i < count;++i){
for(int j = i; j < count;++j){
if(i!= j){
sum[i][j]= sum[i][j-1]+ array[j];
}else{
sum[i][j]= array[j];
}
if(sum[i][j]> maxSub.sum){
maxSub ={ i, j, sum[i][j]};
}
}
}
return maxSub;
}
int main(){
int arr[]={13,-3,-25,20,-3,-16,-23,18,20,-7,12,-5,-22,15,-4,7};
Sub ans =FindMaximumSubarray(arr,sizeof(arr)/sizeof(arr[0]));
printf("low = %d, high = %d, sum = %d", ans.low, ans.high, ans.sum);
return 0;
}
在股票问题中，也可以使用暴力求解方法。遍历每一个子数组区间，比较大小，并记录最大收益的开始和结束的下标。具体实现如下：
using System;
namespace cchoop{
class Program{
public static void Main(){
int[] price = new int[] {100, 113, 110, 85, 105, 102, 86, 63, 81, 101, 94, 106, 101, 79, 94, 90, 97 };
int[] priceChange = new int[price.Length -1];
for (int i = 1; i < price.Length; i++){
priceChange[i -1] = price[i] - price[i - 1];
}
int sum = priceChange[0];
int startIndex = 0;
int endIndex = 0;
for (int i = 0; i < priceChange.Length; i++){
int tempSum = 0;
for (int j = i; j < priceChange.Length; j++){
tempSum += priceChange[j];
if (tempSum > sum){
startIndex = i;
endIndex = j;
sum = tempSum;
}
}
}
Console.WriteLine("最大收益为：{0}，第{1}天买入，第{2}天卖出", sum, startIndex, endIndex +1);
}
}
}
三、反转子数组的应用场景
1. 物流优化
在物流配送中，运输车辆常常需要根据不同的货物需求顺序重新安排送货顺序。通过应用反转子数组的算法，可以高效地对送货路线进行调整。例如，将送货地点看作一个数组，每个地点对应数组中的一个元素。当出现新的紧急送货需求时，可以将包含新需求地点的子数组进行反转，从而将该地点调整到更优先的送货位置。这样能够快速响应客户需求，提高物流配送的效率和灵活性。
2. 数组相等问题
在给定两个长度相同的整数数组和的情况下，可以通过选择的任意非空子数组并翻转，判断是否能让变得与相同。
LeetCode 中的问题如给你两个长度相同的整数数组 target 和 arr。每一步中，你可以选择 arr 的任意非空子数组并将它翻转。你可以执行此过程任意次。如果你能让 arr 变得与 target 相同，返回 True；否则，返回 False。
例如，输入 target = [1,2,3,4], arr = [2,4,1,3]，可以按照如下步骤使 arr 变成 target：1. 翻转子数组 [2,4,1]，arr 变成 [1,4,2,3]；2. 翻转子数组 [4,2]，arr 变成 [1,2,4,3]；3. 翻转子数组 [4,3]，arr 变成 [1,2,3,4]。上述方法并不是唯一的，还存在多种将 arr 变成 target 的方法。
3. 轮转数组
给定一个整数数组，将数组中的元素向右轮转个位置，其中是非负数。可以通过反转算法实现数组的轮转。
例如在 LeetCode189 中，给定一个整数数组 nums，将数组中的元素向右轮转 k 个位置。可以通过先反转整个数组，然后反转数组前段，最后反转数组后段的三步反转算法来实现。以 nums = [1,2,3,4,5,6,7]，k = 3 为例，首先反转整个数组得到 [7,6,5,4,3,2,1]，然后反转前 k 个元素得到 [5,6,7,4,3,2,1]，最后反转后 n - k 个元素得到 [5,6,7,1,2,3,4]，即为最终结果。这种方法的时间复杂度为 O (N)，空间复杂度为 O (1)。在实际应用中，比如在数据处理中需要对一组数据进行循环移位时，可以使用这种高效的轮转算法。
四、代码实现示例
以 C++ 代码为例，展示如何实现反转子数组以得到最大的数组值。
以下是一个示例代码，用于实现反转子数组以得到最大的数组值：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <climits>
int maxValueAfterReverse(const std::vector<int>& nums) {
int value = 0, n = nums.size();
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
value += std::abs(nums[i] - nums[i + 1]);
}
int mx1 = 0;
for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
mx1 = std::max(mx1, std::abs(nums[0] - nums[i + 1]) - std::abs(nums[i] - nums[i + 1]));
mx1 = std::max(mx1, std::abs(nums[n - 1] - nums[i - 1]) - std::abs(nums[i] - nums[i - 1]));
}
int mx2 = INT_MIN, mn2 = INT_MAX;
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
int x = nums[i], y = nums[i + 1];
mx2 = std::max(mx2, std::min(x, y));
mn2 = std::min(mn2, std::max(x, y));
}
return value + std::max(mx1, 2 * (mx2 - mn2));
}
这段代码通过计算原数组的数组值，然后分别考虑不同情况下的子数组反转，最终找到可行的最大数组值。
在代码中，首先计算原数组的数组值value，然后通过遍历数组，计算mx1和更新mx2、mn2的值。最后，返回value加上mx1和2*(mx2 - mn2)中的较大值。
这个实现方法可以在给定一个整数数组时，找到通过一次反转子数组操作后能得到的最大数组值。
