题目解析：兔子繁殖问题的解法与思考｜豆包MarsCode AI 刷题题目解析：兔子繁殖问题的解法与思考｜豆包Mars

题目解析：兔子繁殖问题的解法与思考｜豆包MarsCode AI 刷题

一、问题描述

题目：

如果一对兔子每月生一对兔子；一对新生兔，从第二个月起就开始生兔子；假定每对兔子都是一雌一雄，试问一对兔子，第 nn 个月能繁殖成多少对兔子？（举例，第 1 个月是 1 对兔子，第 2 个月是 2 对兔子）

输入格式：

一个整数 nn，表示月份数，范围为 [1, 75]。

输出格式：

一个整数，表示第 nn 个月的兔子对数。

输入样例：

输出样例：

二、思路分析

这个问题实际上是经典的斐波那契数列的应用。斐波那契数列最初就是由意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时提出的。

1. 建立数学模型

初始条件：

第 1 个月，有 1 对兔子。

第 2 个月，有 2 对兔子。

递推关系：

从第 3 个月开始，兔子对数等于前两个月兔子对数之和，即：

F(n)=F(n−1)+F(n−2)

2. 解题步骤

特例处理：当 n=1 或 n=2 时，直接返回对应的兔子对数。

迭代计算：从第 3 个月开始，使用循环迭代计算每个月的兔子对数，直到第 n 个月。

数据类型：由于兔子对数可能非常大，需使用 long long 类型来存储结果。

3. 时间复杂度

迭代法：时间复杂度为 O(n)，效率较高。

递归法：时间复杂度为 O(2n)，在 n 较大时效率低下，不适合本题。

斐波那契数列在计算机算法中是一个基础且重要的概念。虽然递归实现看似直观，但在性能要求较高的情况下，迭代法更为实用。这也提醒我们在编写代码时，需要综合考虑代码的可读性和性能。

三、代码实现

#include <iostream>
using namespace std;

long long solution(int n) {
    // 特例处理
    if (n == 1) return 1;
    if (n == 2) return 2;

    // 迭代计算斐波那契数列
    long long prev1 = 1, prev2 = 2, current = 0;
    for (int i = 3; i <= n; ++i) {
        current = prev1 + prev2; // 当前月兔子对数
        prev1 = prev2;           // 更新前一月的兔子对数
        prev2 = current;         // 更新当前月的兔子对数
    }

    return current;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << solution(n) << endl;
    return 0;
}

代码详解

函数 solution(int n)：

参数：整数 n，表示月份数。

返回值：第 n 个月的兔子对数。

实现逻辑：

当 n=1 或 n=2时，直接返回 1 或 2。

初始化前两个月的兔子对数 prev1 和 prev2。

使用循环从第 3 个月开始计算，每次更新当前月的兔子对数 current，并调整前两个月的值。

主函数 main()：

从标准输入读取月份数 n。

调用 solution(n) 函数计算结果并输出。

在实现过程中，要注意变量的命名和代码的可读性。例如，使用 prev1 和 prev2 清晰地表示前两个月的兔子对数，可以让代码更易于理解。此外，充分利用循环和迭代，可以有效提高算法的性能。

四、测试与验证

测试用例

样例输入 1：

期望输出：

样例输入 2：

期望输出：

样例输入 3：

期望输出：

样例输入 4：

期望输出：

20365011074

运行结果

通过上述测试用例，程序均能输出正确的结果，验证了算法的正确性。

在实际开发中，测试是确保代码质量的重要环节。应尽可能涵盖各种边界情况和特殊输入，以发现潜在的问题。此外，对于涉及大数运算的题目，要特别注意数据类型的选择，避免溢出。

五、扩展思考

1. 递归与记忆化

虽然递归法在本题中效率不高，但如果结合记忆化搜索（即将中间结果存储起来），可以提高递归算法的效率。

long long memo[76] = {0}; // 因为 n 最大为 75

long long fib(int n) {
    if (memo[n] != 0) return memo[n];
    if (n == 1) return memo[1] = 1;
    if (n == 2) return memo[2] = 2;
    return memo[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

记忆化搜索是动态规划的一种形式，可以在一定程度上优化递归算法。但在迭代法已经高效的情况下，记忆化的收益并不明显。

2. 矩阵快速幂

对于计算斐波那契数列的高阶项，矩阵快速幂方法可以将时间复杂度降为 O(log⁡n)。

简要介绍：

利用斐波那契数列的矩阵表示：
通过快速幂算法计算矩阵的 n−1 次方。

矩阵快速幂在处理需要计算斐波那契数列高阶项且要求高效率的情况下非常有用。但实现相对复杂，且在本题的数据范围内，迭代法已经足够高效。因此，应根据实际需求选择合适的算法。

题目解析：兔子繁殖问题的解法与思考｜ 豆包MarsCode AI 刷题