在处理二维矩阵填充问题时，有时需要按照特定的顺序或路径来填充矩阵，蛇形填充便是其中一种有趣且富有挑战性的方式。在本题中，我们需要在一个 n×n 的方阵中按蛇形路径填充数字。起始点位于矩阵的右上角，并按照顺时针方向沿着方阵的边界依次填充，从 1 到 n×n。
1. 基本思路
蛇形填充的关键在于遍历边界的顺序，路径是沿着矩阵的外层边界逐层向内，形成一个类似“蛇形”的填充方式。具体来说，我们可以将矩阵分为多个层次（从外到内），每一层都沿着矩阵的边缘进行顺时针填充。我们从右上角开始，按以下顺序移动：
- 从右上角开始，填充顶部一行（从右到左）。
- 然后填充右侧一列（从上到下）。
- 填充底部一行（从左到右）。
- 填充左侧一列（从下到上）。
- 重复上述过程，直到所有位置被填满。
在每次填充一层之后，矩阵的边界会逐渐向内收缩。
2. 代码实现
通过以下 Python 代码实现蛇形填充矩阵：
pythonCopy Code
def generate_matrix(n):
# 初始化一个n×n的矩阵，所有元素初始化为0
matrix = [[0] * n for _ in range(n)]
# 定义蛇形填充的四个方向（右、下、左、上）
directions = [(0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0)]
x, y = 0, n - 1 # 起始位置为右上角
direction_index = 0 # 从右开始填充
current_value = 1 # 从1开始填充
while current_value <= n * n:
matrix[x][y] = current_value
current_value += 1
# 计算下一个位置
next_x = x + directions[direction_index][0]
next_y = y + directions[direction_index][1]
# 判断是否越界或者已经填充过，若是则改变方向
if not (0 <= next_x < n and 0 <= next_y < n and matrix[next_x][next_y] == 0):
# 改变方向
direction_index = (direction_index + 1) % 4
next_x = x + directions[direction_index][0]
next_y = y + directions[direction_index][1]
# 更新当前位置
x, y = next_x, next_y
return matrix
3. 代码解析
- 初始化矩阵：首先创建一个
n×n的矩阵，所有元素初始化为0，这是因为我们需要填充从1到n×n的数字。 - 方向定义：我们使用一个方向数组
directions来表示顺时针的四个移动方向，分别为右（0,1）、下（1,0）、左（0,-1）、上（-1,0）。每次填充一个数字后，我们根据当前方向来确定下一个位置。 - 起始位置：从右上角开始填充，即矩阵的第一行的最右端。
- 填充过程：通过
while循环，直到所有位置都被填充。每次我们根据当前的方向计算下一个位置，如果下一个位置越界或已经被填充过，就需要改变方向。通过direction_index来控制当前的方向，并使用模运算来实现四个方向的循环切换。 - 检查越界：在每次尝试移动到新位置之前，我们都会检查该位置是否在矩阵内，且未被填充过。如果遇到非法位置，则改变方向。
4. 思考与优化
思考：
- 时间复杂度：这段代码的时间复杂度是
O(n^2)，因为每个位置都需要被填充一次，且每次填充后我们只进行常数时间的操作（如方向切换、越界检查等）。 - 空间复杂度：由于我们需要额外的空间来存储矩阵，因此空间复杂度是
O(n^2)。 - 简化方向管理：通过方向数组的方式，我们可以更简洁地控制蛇形路径的变化，避免了多重嵌套的条件判断，使得代码更具可读性。
优化：
- 内存优化：对于较大的
n，我们可能不需要在每次计算时都创建一个完整的n×n矩阵，尤其是在内存有限的情况下，可以考虑逐行或逐列填充，减少内存消耗。但在本题中，直接使用二维数组已经是最简单且高效的实现方式。 - 提前停止判断：当前实现中，虽然每次都检查越界与是否已填充，但通过精确控制每一层的边界也可以简化逻辑。例如，在每次填充一层后，可以直接缩小范围，不再处理已填充的区域。
5. 结论
通过这个问题的解决，我们不仅理解了蛇形填充的实现方式，也提升了对边界条件和方向管理的控制能力。在实际开发中，类似的填充问题常常出现在图像处理、游戏开发等领域，掌握了这种二维矩阵的路径填充技巧，能够帮助我们在更复杂的应用场景中轻松应对。
