问题描述
小R近期表现出色，公司决定以股票的形式给予奖励，并允许他在市场上进行交易以最大化收益。给定一个数组，数组中的第 i 个元素代表第 i 天的股票价格。小R需要设计一个算法来实现最大利润。
股票交易规则如下：
- 小R可以多次买卖股票，但在买入新的股票前必须卖出之前的股票。
- 每次卖出股票后存在一天的冷冻期，在冷冻期内小R不能购买股票。
你的任务是帮助小R计算出在遵守交易规则的情况下能够获得的最大利润。
stocks: 一个整数列表，表示连续几天内的股票价格。
代码实现
def solution(stocks):
if not stocks or len(stocks) < 2:
return 0
n = len(stocks)
# 定义三个状态
dp_buy = [-float('inf')] * n # 第 i 天持有股票的最大收益
dp_sell = [0] * n # 第 i 天卖出股票的最大收益
dp_cool = [0] * n # 第 i 天处于冷冻期的最大收益
# 初始状态
dp_buy[0] = -stocks[0]
for i in range(1, n):
# 第 i 天持有股票
dp_buy[i] = max(dp_buy[i - 1], dp_cool[i - 1] - stocks[i])
# 第 i 天卖出股票
dp_sell[i] = dp_buy[i - 1] + stocks[i]
# 第 i 天冷冻期
dp_cool[i] = max(dp_cool[i - 1], dp_sell[i - 1])
# 返回最后一天最大利润
return max(dp_sell[-1], dp_cool[-1])
if __name__ == "__main__":
# 测试用例
print(solution([1, 2]) == 1)
print(solution([2, 1]) == 0)
print(solution([1, 2, 3, 0, 2]) == 3)
print(solution([2, 3, 4, 5, 6, 7]) == 5)
print(solution([1, 6, 2, 7, 13, 2, 8]) == 12)
一、题目解析
这是一道典型的动态规划问题，需要利用多状态转移来实现股票交易的最大化收益。核心问题在于如何合理地建模股票交易状态和转移规则。
1、规则总结
- 可以多次买卖股票，但必须在卖出后才能再次买入。
- 每次卖出后会有一天的冷冻期，冷冻期内不能买入股票。
- 要在遵守规则的情况下，计算可以获得的最大收益。
2、动态规划思想
通过以下三个状态来建模：
- dp_buy[i]：表示第 天结束时持有股票的最大收益。
- dp_sell[i]：表示第 天结束时卖出股票的最大收益。
- dp_cool[i]：表示第 天结束时处于冷冻期的最大收益。
3、状态转移方程：
- 持有股票：第i天结束时，持有股票的收益可以是延续前一天的持有，或者在冷冻期后买入
- 卖出股票：卖出股票的收益来源于前一天持有股票并卖出当前股票
- 冷冻期：冷冻期的收益可以是延续前一天的冷冻期，或者今天刚刚卖出股票
4、边界条件
- 第 0 天，持有股票的最大收益为 （买入成本）。
- 卖出股票和冷冻期的最大收益为 0，因为没有交易。
5、最终结果
- 最后一天的最大收益是卖出股票或者处于冷冻期的最大值
二、知识总结
- 动态规划的灵活性：本题使用多个状态（dp_buy、dp_sell、dp_cool）进行建模，这是动态规划应用的一个重要方向。它要求我们从题意中明确每一步可能的状态变化。
- 限制条件的建模：本题的冷冻期规则是一个复杂的限制，但通过明确不同状态的关系，我们可以轻松解决问题。
- 边界条件的重要性：在动态规划中，初始状态决定了后续转移是否正确，因此需要格外注意边界条件的设定。
三、学习建议
- 分类总结：将问题分为不同类型，比如动态规划、贪心算法等。明确每类问题的核心解决思路。
- 逐步优化：先从暴力解法出发，再逐步优化。比如，本题可以先尝试暴力枚举每种交易情况，然后引入状态转移降低复杂度。
- 重复练习：对于动态规划这类题型，重复练习是关键。尤其是状态定义和转移方程的构建。
四、小结
通过合理的学习计划和资源结合，我们可以快速提升算法能力，同时将复杂问题转化为可理解的逻辑。
