467 牛妹的K次奇怪操作| 豆包MarsCode AI刷题问题描述牛妹有一个序列 a1,a2,…,an，她可以对序列

问题描述

牛妹有一个序列 a1,a2,…,an，她可以对序列执行 kk 次奇怪的操作。每次操作的步骤如下：

牛妹选择一个位置 pos（1≤pos≤n）。
将 apos在二进制表示下最低位的 11 变成 00。

牛妹想知道在执行 k 次操作之后，序列的总和最小能是多少。

测试样例

样例1：

输入：n = 2 ,k = 1 ,a = [8, 7]
输出：7

样例2：

输入：n = 2 ,k = 2 ,a = [9, 6]
输出：6

样例3：

输入：n = 3 ,k = 2 ,a = [3, 5, 7]
输出：10

解题思路

我们希望在最多 k 次操作后，使序列和最小化。由于每次操作只能消除一个最低位的 1，我们可以通过动态规划（DP）记录操作过程中的最优结果。

1. 二进制最低位 `1` 的处理

通过位运算，我们可以高效找到并移除二进制数的最低位 1。
设 x 是当前数字：

使用 -x & x 找到最低位的 1。
使用 x -= (-x & x) 移除该位。

例如：

x=7（111），最低位的 1 是 1。
x=6（110），最低位的 1 是 2。

2. 动态规划转移方程

状态定义：

dp[i][j]：前 i 个数，使用最多 j 次操作后，可以得到的最大消除值。

转移方程：

不操作当前数： dp[i][j]=dp[i−1][j]
使用 t 次操作在当前数上： dp[i][j]=max⁡(dp[i][j],dp[i−1][j−t]+sum(l[i][:t]))其中 l[i]是当前数的所有最低位 1 组成的列表，sum(l[i][:t]) 表示操作 t 次后的累计消除值。

最终答案：

sum(a)−dp[n][k]即原始总和减去最大可消除值。

代码实现

def solution(n: int, k: int, a: list) -> int:
    dp = [[0 for i in range(k+1)] for j in range(n+1)]
    for i in range(k+1):
        dp[0][i]=0
    for j in range(n+1):
        dp[j][0]=0
    sum_a = sum(a)
    l = []
    for i in range(n):
        temp = []
        while a[i]>0:
            temp.append(-a[i]&a[i])
            a[i]-=temp[-1]
        l.append(temp)
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(1,k+1):
            temp = []
            for num in range(min(len(l[i-1]),j)+1):
                temp.append(dp[i-1][j-num]+sum(l[i-1][:num]))
            dp[i][j] = max(temp)
    return sum_a-dp[n][k]


if __name__ == '__main__':
    print(solution(14, 16, [8,10,14,5,16,7,5,14,17,11,10,14,16,9]),47)
    print(solution(2, 2, [9, 6]) == 6)
    print(solution(3, 2, [3, 5, 7]) == 10)

复杂度分析

时间复杂度：
- 预处理 l 阶段：每个数最多有 log⁡(max(a))个最低位 1，总时间复杂度为 O(n⋅log⁡(max(a)))。
- 动态规划阶段：遍历 DP 表，每个单元格最多枚举 k次操作，复杂度为 O(n⋅k2)。
- 综合复杂度为 O(n⋅(log⁡(max(a))+k2))。
空间复杂度：
- DP 表占用 O(n⋅k) 的空间。

总结

通过位运算和动态规划的结合，我们可以高效解决这类与二进制操作相关的优化问题。本题中的关键是构建合适的状态转移方程，并灵活使用位运算简化预处理步骤。

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