解决01背包问题 | 豆包MarsCode AI 刷题

解决01背包问题 | 豆包MarsCode AI 刷题

问题描述

一个旅行者外出旅行时需要将 n 件物品装入背包，背包的总容量为 m。每个物品都有一个重量和一个价值。你需要根据这些物品的重量和价值，决定如何选择物品放入背包，使得在不超过总容量的情况下，背包中物品的总价值最大。

给定两个整数数组 weights 和 values，其中 weights[i] 表示第 i 个物品的重量，values[i] 表示第 i 个物品的价值。你需要输出在满足背包总容量为 m 的情况下，背包中物品的最大总价值。

解决思路

首先搞懂01背包的通用解法，01背包的精髓就在于：dp[i]的计算包含两种情况，选当前元素和不选当前元素

其次搞清楚01背包用二维数组解法和一维数组解法的不同，二维dp数组和一维dp数组有哪些不同：因为一维数组少了一个维度，所以很可能由于操作不当导致状态被覆盖，使用一维dp数组时要倒序遍历背包容量（dp[j]依赖于dp[j-weight[i]]，如果j从小到大遍历，dp[j-weight[i]]可能被当前轮次的更新所覆盖，而已经不是上一次的状态了）、先遍历物品再遍历背包容量且顺序不可交换（否则每次的背包容量都可选择所有的物品，这是完全背包问题而非01背包），二维数组因为有i这个维度，能够确保不同物品间的轮次互不影响，所以没这么多限制

这道题我选择使用一维dp数组来解决，dp[j]表示容量为j的背包所能装的物品的最大价值

算法步骤

1. 初始化：创建一个长度为 m + 1 的数组 dp，并将所有元素初始化为0。
2. 状态转移：
   • 对于每个物品 i，从背包容量 m 开始，倒序遍历到当前物品的重量 weights[i]。
   • 对于每个容量 j，更新 dp[j] 的值，使其为当前值和放入当前物品后的最大值。
3. 推导出结果：最终 dp[m] 就是容量为 m 的背包所能装的最大价值。

通过动态规划的思想逐步更新 dp 数组，最终得到容量为 m 的背包所能装的最大价值。这个方法的时间复杂度为 O(n * m)，空间复杂度为 O(m)。