第2题徒步旅行中的补给问题题解| 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小R正在计划一次从地点A到地点B的徒步旅行，总路程需要 N 天。为了在旅途中保持充足的能量，小R每天必须消耗1份食物。幸运的是，小R在路途中每天都会经过一个补给站，可以购买食物进行补充。然而，每个补给站的食物每份的价格可能不同，并且小R最多只能同时携带 K 份食物。

现在，小R希望在保证每天都有食物的前提下，以最小的花费完成这次徒步旅行。你能帮助小R计算出最低的花费是多少吗？

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测试样例

样例1：

输入：n = 5 ,k = 2 ,data = [1, 2, 3, 3, 2]
输出：9

样例2：

输入：n = 6 ,k = 3 ,data = [4, 1, 5, 2, 1, 3]
输出：9

样例3：

输入：n = 4 ,k = 1 ,data = [3, 2, 4, 1]
输出：10

解决思路

1. 动态规划建模：

   • 定义 dp[i][j]：表示在经过第 i 天后，背包中有 j 份食物时的最低花费。

   • 状态转移：

     • 如果在前一天的背包状态 dp[i-1][x] 基础上购买食物到第 i 天满足需要，转移公式为： dp[i][j]=min⁡(dp[i][j],dp[i−1][x]+食物购买花费)dp[i][j] = \min(dp[i][j], dp[i-1][x] + \text{食物购买花费})dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i−1][x]+食物购买花费) 其中，x 和 j 之间的关系由背包容量 K 和每天消耗的 1 份食物决定。

2. 优化逻辑：

   • 每天只能购买一定数量的食物（背包容量限制）。
   • 每天必须保证背包中至少有 1 份食物供当天消耗。

3. 初始条件：

   • dp[0][0] = 0：初始状态，没有花费且无食物。
   • 其余 dp[0][j] 初始化为无穷大。

4. 最终结果：

   • 目标是找到第 N 天完成时，dp[N][j] 中的最小值（背包为空时的状态）。

样例分析

样例1

输入：

n = 5, k = 2, data = [1, 2, 3, 3, 2]

含义：

• 小R需要 5 天完成旅程，最多携带 2 份食物。
• 各补给站的食物价格分别为 1, 2, 3, 3, 2。

期望输出：

9

分析：

• 第 1 天购买 2 份食物（花费 1 * 2 = 2）。
• 第 3 天购买 1 份食物（花费 3）。
• 第 5 天购买 1 份食物（花费 2）。
• 总花费为 2 + 3 + 2 = 9。

代码解析

1. 使用动态规划构造 dp 表，逐天更新各背包状态的最低花费。
2. 遍历背包容量状态，计算所有可能购买方案的最优解。
3. 在每一天结束时更新最小花费。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#include <cstdint>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int solution(int n, int k, const vector<int> &data) {
  vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(k + 1, INT16_MAX));
  dp[0][0] = 0;

  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int l = 0; l < k; l++) {
      for (int j = 0; j < k; j++) {
        if (l - j + 1 >= 0 && l - j + 1 <= k) {
          dp[i][l] = min(dp[i][l], dp[i - 1][j] + (l - j + 1) * data[i - 1]);
        }
      }
    }
  }

  return dp[n][0];
}

int main() {
  // Add your test cases here

  std::cout << (solution(5, 2, {1, 2, 3, 3, 2}) == 9) << std::endl;
  return 0;
}