小U的数组权值计算 | 豆包MarsCode AI刷题问题描述小R定义一个数组的“权值”为相邻两数乘积为奇数的对数。给

问题描述

小R定义一个数组的“权值”为相邻两数乘积为奇数的对数。给定一个整数 n，表示数组的长度，即需要求从1到n的所有排列的权值之和。每个排列包含从1到n的每个正整数且仅出现一次。由于结果可能非常大，答案需要对 $10^9+7$ 取模

例如：对于数组 [4, 3, 1, 5, 2]，有两对相邻元素的乘积为奇数：3 * 1 = 3 和 1 * 5 = 5，因此权值为 2。

解题思路

1. 分析奇数对的数量

首先，数组中的奇数个数为 $𝑘=⌊\dfrac{n-1}{2}⌋$ 。相邻两数乘积为奇数，意味着这两个数都是奇数。因此，可能的奇数对数为组合数 $C(k, 2) = \dfrac{k(k-1)}{2}$ 。

2. 计算每个奇数对在排列中相邻的次数

在所有的排列中，任意两个元素相邻的排列数为 $2 \times (n - 1)!$ 。这是因为将这两个元素视为一个整体，有 $(n - 1)!$ 种排列方式，再考虑这两个元素之间的顺序，共有 $2 \times (n - 1)!$ 种。

3. 计算权值之和

所有奇数对在所有排列中相邻的总次数为：

$S = C(k, 2) \times 2 \times (n - 1)! = k(k - 1) \times (n - 1)!$

需要注意在计算过程中对 $10^9+7$ 取模。

4. 特殊情况处理

当奇数个数 $k < 2$ 时，权值之和为 0，因为没有足够的奇数组成一对。

代码实现

python
复制代码
def solution(n: int) -> int:
    mod = 10**9 + 7
    if n < 2:
        return 0
    # 计算 (n - 1)! 模 mod
    fact = 1
    for i in range(2, n):
        fact = (fact * i) % mod
    k = (n + 1) // 2  # 奇数的个数
    if k < 2:
        return 0
    # 计算权值之和
    s = fact * k % mod * (k - 1) % mod
    return s

if __name__ == '__main__':
    print(solution(5))  # 输出 144
    print(solution(3))  # 输出 4
    print(solution(6))  # 输出 720

代码详解

变量初始化：
- mod 为取模数 $10^9+7$ 。
- fact 用于计算 $(n - 1)!$ ，初始值为 1。
计算阶乘：
- 使用循环计算 $(n - 1)!$ ，在每一步都取模，防止溢出。
计算奇数个数 kkk：
- 通过 (n + 1) // 2 计算奇数的数量。
特殊情况判断：
- 当 $k < 2$ 时，直接返回 0。
计算权值之和 SSS：
- 按照推导的公式计算，并在每一步取模。

个人思考和学习建议

在解决这道题的过程中，我深刻体会到数学推导对于算法优化的重要性。初看这道题，可能会尝试枚举所有排列，然后计算权值之和，但显然在 $n$ 较大时，这种方法不可行。

通过数学推导，我们将问题转化为组合数学问题，大大降低了时间复杂度。这也提醒我，在编程中，算法和数学是密不可分的，掌握基本的数学知识可以帮助我们更高效地解决问题。

对入门同学的建议：

加强数学基础： 多学习排列组合、概率统计等数学知识，在算法题中经常会用到。
养成推导习惯： 在动手写代码前，先尝试手动推导公式，找到最优解法。
注重算法优化： 不要急于求成，先分析时间和空间复杂度，寻找更优的解决方案。
多练习多总结： 通过刷题积累经验，但更重要的是在每道题后进行总结，思考是否有更好的方法。

知识总结

使用豆包MarsCode AI刷题的过程中，我学到了如何将复杂的问题简化，并通过数学方法进行求解。同时，也意识到编程不仅仅是代码的实现，更是对问题的理解和分析。

在未来的学习中，我会更加注重：

理论与实践相结合： 理论知识是实践的基础，实践又能巩固理论。
主动思考： 不盲目依赖现有的解法，尝试提出自己的见解。
交流与分享： 与他人讨论可以获得不同的思路，也能加深自己的理解。