问题描述
一个旅行者外出旅行时需要将 n 件物品装入背包，背包的总容量为 m。每个物品都有一个重量和一个价值。你需要根据这些物品的重量和价值，决定如何选择物品放入背包，使得在不超过总容量的情况下，背包中物品的总价值最大。
给定两个整数数组 weights 和 values，其中 weights[i] 表示第 i 个物品的重量，values[i] 表示第 i 个物品的价值。你需要输出在满足背包总容量为 m 的情况下，背包中物品的最大总价值。
测试样例
样例1：
输入：
n = 3 ,weights = [2, 1, 3] ,values = [4, 2, 3] ,m = 3
输出：6
样例2：
输入：
n = 4 ,weights = [1, 2, 3, 2] ,values = [10, 20, 30, 40] ,m = 5
输出：70
样例3：
输入：
n = 2 ,weights = [1, 4] ,values = [5, 10] ,m = 4
输出：10
问题分析
对于第i个物品来说，它都有选取和未选取两种状态。如果选取，则背包容量减少，如果未选，则背包容量不变。而它的子问题就是在剩余背包空间left下前i-1个物品能够得到的最大价值之和。
代码实现
很容易地想到用递归的方式处理这类问题，那么确认递归的条件与终点是很重要的。对于每一次调用函数，我们需要返回的值是它的两个子问题中（即选取该元素后的情况与未选取该元素后的情况）的最大值。这里递归的终点有两种情况，一种是此时已经没有物品可以选了，那么自然可以进行return，还有一种可能是剩余背包空间为负数，很容易想到此时是一个不合法的情况，应当返回一个较小的数，如负数标记它为不合法，这样在下面求max时自然而然地可以去掉这个不合法的情况。
写完递归的函数之后，就可以传入值了，我这里是从最后一个物品开始选取，当然从第一个开始选取也是可以的。
- 时间复杂度：
O(n * m) - 空间复杂度：
O(n * m)
本题总结
背包问题是一个经典的组合优化问题，目标是选择一组物品放入背包，使得在不超过背包容量的情况下，背包中物品的总价值最大。
我们可以通过定义递归函数 f(i, left)，表示在剩余容量 left下，从第 i 个物品到第 0 个物品的最大总价值。
与此同时，我们可以使用记忆化搜索，对于已经计算出的结果进行储存，减少不必要的二次计算，从而节约内存与时间。
个人思考
递归方法直观易懂，但容易导致重复计算。通过记忆化搜索，可以显著减少计算量。
动态规划的核心在于状态转移，通过递归函数 f(i, left) 的状态转移，可以逐步构建最优解。
改进方面
可以使用动态规划的思想，将递归函数翻译为数组从而实现进一步节约内存。需要注意的是在数组中代表的不是某个特定点的值，而是代表这个过程中的某个值。关于这一点我在后面会提及到。
