青训营X豆包MarsCode技术训练营｜豆包MarsCode AI刷题中等题小M的蛋糕切割问题问题描述小M有一个

中等题小M的蛋糕切割问题

问题描述

小M有一个 $n \times m$ 的矩形蛋糕，蛋糕被分为 $n \times m$ 个区域，每个区域都有一个美味度。她希望通过一刀将蛋糕切成两部分，一部分自己吃，另一部分给小团。切下的区域必须是完整的，即不能把某个小正方形切成两个小区域。

小M希望两个人吃的部分的美味度之和尽量接近。你的任务是计算出美味度差的最小值，即 $|s_1 - s_2|$ 的最小值，其中 $s_1$ 是小M吃到的美味度， $s_2$ 是小团吃到的美味度。

测试样例

样例1：

输入：n = 2, m = 3, a = [[1, 1, 4], [5, 1, 4]]
输出：0

样例2：

输入：n = 3, m = 3, a = [[3, 2, 1], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
输出：3

样例3：

输入：n = 2, m = 2, a = [[1, 2], [3, 4]]
输出：2

思考步骤

问题要求我们通过一刀将一个矩形蛋糕切成两部分，使得两部分的美味度之差最小。我们首先要明确以下几点：

矩形的切割方式：切割可以是水平的或垂直的，且切割必须沿着整行或整列进行，不能将某个小区域切成两部分。
美味度差最小化的目标：我们需要尽可能让两部分的美味度之和接近。设两部分的美味度分别为 $s_1$ 和 $s_2$ ，目标是最小化 $|s_1 - s_2|$ 。

关键点分析

矩阵的分割方式：由于切割是整行整列进行的，我们可以考虑两种切割方式：
- 水平切割：切成两部分时，可以选择将矩阵切割成两部分，上面部分的行数是 $i$ （其中 $1 \leq i < n$ ），下面部分则是剩余的行。
- 垂直切割：切割时可以选择将矩阵切割成两部分，左边部分的列数是 $j$ （其中 $1 \leq j < m$ ），右边部分则是剩余的列。
美味度的计算：在任意一刀切割的情况下，两个部分的美味度总和 $S$ 是固定的。通过计算所有区域的总美味度 $\text{total\_sum}$ ，我们可以通过计算其中一部分的美味度 $s_1$ ，然后通过公式 $s_2 = \text{total\_sum} - s_1$ 来得到另一部分的美味度。
减小美味度差：目标是使得 $|s_1 - s_2|$ 最小。为了优化计算，我们可以通过对每行或每列前缀和的处理，快速计算切割后任意部分的美味度总和。

步骤分析

计算总美味度：首先计算整个矩阵的美味度总和 $\text{total\_sum}$ 。
计算前缀和：可以通过计算行或列的前缀和来快速计算任意部分的美味度。对于每一行或每一列，通过前缀和能够快速得到切割后某部分的美味度。
比较所有可能的切割方式：遍历所有可能的切割方式，计算美味度差 $|s_1 - s_2|$ ，并找到最小的差值。

代码实现

def solution(n, m, a):
    total_sum = sum(sum(row) for row in a)  # 计算整个矩阵的美味度总和
    min_diff = float('inf')  # 初始化最小差值为无穷大

    # 水平切割
    row_prefix_sum = [0] * (n + 1)  # 记录行前缀和
    for i in range(1, n + 1):
        row_prefix_sum[i] = row_prefix_sum[i - 1] + sum(a[i - 1])
    
    for i in range(1, n):
        s1 = row_prefix_sum[i]
        s2 = total_sum - s1
        min_diff = min(min_diff, abs(s1 - s2))

    # 垂直切割
    col_prefix_sum = [0] * (m + 1)  # 记录列前缀和
    for j in range(1, m + 1):
        col_prefix_sum[j] = col_prefix_sum[j - 1] + sum(a[i][j - 1] for i in range(n))
    
    for j in range(1, m):
        s1 = col_prefix_sum[j]
        s2 = total_sum - s1
        min_diff = min(min_diff, abs(s1 - s2))

    return min_diff

青训营X豆包MarsCode技术训练营｜豆包MarsCode AI刷题

中等题 小M的蛋糕切割问题