1. 明确需求和约束
- 输入：一个正整数 ( n )。
- 输出：从 1 到 ( n ) 之间的“好数”的数量。
- 限制条件：
- 数字不能包含前导零，但由于输入是正整数且范围从 1 到 ( n )，这一点天然满足。
- 数字的数位中最多包含两种不同的数字。
- 关键点：如何有效判断一个数字的数位是否符合“好数”的定义。
2. 分解问题
要解决此问题，可以将问题分解为以下几个步骤：
- 遍历从 1 到 ( n ) 的每个数字。
- 对每个数字，提取其数位，并判断该数字是否是“好数”：
- 将数字转换为字符串。
- 遍历字符串中的每一位，并记录这些数位。
- 使用集合（
Set）存储数位的独特值。
- 如果集合中不超过 2 个不同的数位，则这个数字是“好数”，将计数器加 1。
- 最后输出计数结果。
3. 算法设计
通过上述分析，可以设计出暴力枚举的方法。具体步骤如下：
- 初始化计数器：定义一个变量
count来记录“好数”的数量。 - 遍历每个数字：从 1 到 ( n ) 的所有数字逐个检查。
- 判断是否是“好数”：
- 将数字转换为字符串，提取其数位。
- 利用集合（
Set）自动去重的特性，统计该数字中不同数位的数量。 - 判断集合的大小是否小于等于 2。
- 计数：如果集合大小符合条件，则将计数器加 1。
- 输出结果：最后返回计数器的值。
4. 代码实现
以下是基于上述设计的 Java 代码实现：
import java.util.HashSet;
import java.util.Set;
public class Main {
// 方法：判断从1到n之间的好数数量
public static int solution(int n) {
int count = 0; // 初始化计数器
// 遍历从1到n的所有数字
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 将数字转换为字符串
String numStr = Integer.toString(i);
// 使用集合记录不同的数位
Set<Character> digits = new HashSet<>();
for (char c : numStr.toCharArray()) {
digits.add(c);
}
// 判断集合的大小是否小于等于2
if (digits.size() <= 2) {
count++; // 满足条件的数字计数器加1
}
}
return count; // 返回好数的总数量
}
// 主方法：测试示例
public static void main(String[] args) {
// 测试用例
System.out.println(solution(110)); // 输出102
System.out.println(solution(1000)); // 输出352
System.out.println(solution(1)); // 输出1
}
}
5. 算法复杂度分析
时间复杂度
- 外层循环遍历从 1 到 ( n )，需要 ( O(n) ) 的时间。
- 对于每个数字，将其转换为字符串，并遍历其数位，时间复杂度为 ( O(d) )，其中 ( d ) 是数字的位数。对于最大数字 ( n )，其位数为 ( \log_{10}(n) )。
- 因此，整体时间复杂度为 ( O(n \cdot \log_{10}(n)) )。
空间复杂度
- 主要是存储数位的集合
Set，其大小最多为 10（数字的范围是 0 到 9）。 - 因此，空间复杂度为 ( O(1) )。
7. 优化思考
虽然上述暴力枚举方法直观且易于实现，但对于非常大的 ( n )（例如 ( 10^9 )）可能会超时。可以考虑以下优化方法：
1. 预计算和记忆化
- 利用动态规划或递归，预先计算出某个范围内“好数”的数量，避免重复计算。
- 通过存储中间结果，减少重复计算的开销。
2. 数位动态规划（Digit DP）
- 使用数位 DP 技术，通过逐位构造数字并统计“好数”的数量。
- 数位 DP 的主要思想是逐位分析数字，判断是否符合条件，同时利用状态压缩来减少计算。
- 数位 DP 的复杂度与数字的位数和状态空间有关，适合处理大范围问题，例如 ( n ) 接近 ( 10^9 )。
