“青训营X豆包MarsCode 技术训练营第一课｜豆包MarsCode AI 刷题问题描述小S最近在分析一个数组

问题描述

小S最近在分析一个数组 h1,h2,...,hNh1,h2,...,hN，数组的每个元素代表某种高度。小S对这些高度感兴趣的是，当我们选取任意 kk 个相邻元素时，如何计算它们所能形成的最大矩形面积。

对于 kk 个相邻的元素，我们定义其矩形的最大面积为：

R(k)=k×min(h[i],h[i+1],...,h[i+k−1])R(k)=k×min(h[i],h[i+1],...,h[i+k−1])

即，R(k)R(k) 的值为这 kk 个相邻元素中的最小值乘以 kk。现在，小S希望你能帮他找出对于任意 kk，R(k)R(k) 的最大值。

测试样例

样例1：

输入：n = 5, array = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：9

样例2：

输入：n = 6, array = [5, 4, 3, 2, 1, 6]
输出：9

样例3：

输入：n = 4, array = [4, 4, 4, 4]
输出：16

问题分析

给定一个包含 nn 个整数的数组，要求我们对于任意长度为 kk 的相邻子数组，计算它们所能形成的最大矩形面积。面积计算的规则是：对于长度为 kk 的子数组，矩形的最大面积为 k×min⁡(h[i],h[i+1],…,h[i+k−1])k×min(h[i],h[i+1],…,h[i+k−1])，其中 min⁡min 表示该子数组的最小值。

解题思路

我们可以通过滑动窗口的方式，计算每个可能的长度 kk 所对应的最大矩形面积。具体来说，对于每个长度 kk 的子数组，我们可以找到该子数组的最小值，然后计算面积。

步骤

遍历所有可能的子数组长度：从 k=1k=1 到 k=nk=n，我们依次计算每个长度为 kk 的子数组的最大矩形面积。
计算每个子数组的最小值：对于给定的 kk，我们遍历数组的每个长度为 kk 的子数组，计算其最小值，并使用公式 k×min⁡(h[i],h[i+1],…,h[i+k−1])k×min(h[i],h[i+1],…,h[i+k−1]) 计算矩形面积。
优化：直接计算每个子数组的最小值可能比较慢（每次都要遍历 kk 个元素）。我们可以利用滑动窗口技巧，快速找到每个子数组的最小值，减少时间复杂度。

滑动窗口技巧

对于长度为 kk 的滑动窗口，我们可以维护一个单调队列来存储当前窗口的最小值。在每一时刻，我们只需要通过队列中的最小值来计算面积。

具体实现

pythonCopy Code
from collections import deque

def max_rectangle_area(n, array):
    # 计算每个可能的k值对应的最大矩形面积
    max_area = 0
    
    # 遍历所有可能的子数组长度k
    for k in range(1, n + 1):
        # 使用单调队列找出每个长度为k的子数组的最小值
        deq = deque()
        
        # 初始化队列，遍历前k个元素，计算第一个窗口的最小值
        for i in range(k):
            while deq and array[deq[-1]] >= array[i]:
                deq.pop()
            deq.append(i)
        
        # 计算第一个窗口的面积
        max_area = max(max_area, k * array[deq[0]])
        
        # 继续滑动窗口
        for i in range(k, n):
            # 移除队列中已经不在窗口范围内的元素
            while deq and deq[0] <= i - k:
                deq.popleft()
            
            # 向队列添加当前元素
            while deq and array[deq[-1]] >= array[i]:
                deq.pop()
            deq.append(i)
            
            # 计算当前窗口的最小值对应的矩形面积
            max_area = max(max_area, k * array[deq[0]])
    
    return max_area

# 测试样例
print(max_rectangle_area(5, [1, 2, 3, 4, 5]))  # 输出：9
print(max_rectangle_area(6, [5, 4, 3, 2, 1, 6]))  # 输出：9
print(max_rectangle_area(4, [4, 4, 4, 4]))  # 输出：16

解释

滑动窗口和单调队列：
- 使用队列维护当前窗口的最小值：队列中的元素按从小到大的顺序排列，队列的头部始终保存当前窗口的最小值。
- 对于每一个 kk，我们计算所有可能的子数组的面积，并通过队列在 O(1)O(1) 时间内获取当前窗口的最小值，从而计算最大面积。
遍历所有可能的 kk：
- 我们遍历从 k=1k=1 到 k=nk=n 的所有子数组长度，对于每一个 kk，我们使用滑动窗口技术计算所有窗口的面积。

时间复杂度

对于每个 kk，我们维护一个滑动窗口，该窗口会遍历数组一次，时间复杂度是 O(n)O(n)。
总的时间复杂度为 O(n2)O(n2)，因为我们需要计算所有从 k=1k=1 到 k=nk=n 的情况。

测试结果

样例 1：输入 [1, 2, 3, 4, 5]，最大矩形面积为 9。
样例 2：输入 [5, 4, 3, 2, 1, 6]，最大矩形面积为 9。
样例 3：输入 [4, 4, 4, 4]，最大矩形面积为 16。

此解法能够正确计算给定数组的所有可能的矩形面积，并返回最大值。

“青训营X豆包MarsCode 技术训练营第一课 ｜ 豆包MarsCode AI 刷题