第201题小M的蛋糕切割问题问题描述小M有一个 $n×m$ 的矩形蛋糕，蛋糕被分为 $n×m$ 个区域，每个区域都有

问题描述

小M有一个 $n×m$ 的矩形蛋糕，蛋糕被分为 $n×m$ 个区域，每个区域都有一个美味度。她希望通过一刀将蛋糕切成两部分，一部分自己吃，另一部分给小团。切下的区域必须是完整的，即不能把某个小正方形切成两个小区域。

小M希望两个人吃的部分的美味度之和尽量接近。你的任务是计算出美味度差的最小值，即 $∣s1−s2∣$ 的最小值，其中 $s1$ 是小M吃到的美味度， $s2$ 是小团吃到的美味度。

题目分析

我们需要将一个 $n \times m$ 的矩形蛋糕用一刀切成两部分，使得两部分的美味度之和尽可能接近。具体来说，要计算两部分美味度的差值 $|s_1 - s_2|$ 的最小值，其中 $s_1$ 是一部分美味度， $s_2$ 是另一部分美味度。

切割规则：

只能通过横向或纵向切割蛋糕。
切割必须经过整行或整列，不能把某个区域分成碎片。

目标：找到最小的 $∣s1−s2∣$ 。

解题思路

核心思想：
在横向和纵向切割中，逐一尝试每一种切割方式，计算两部分美味度的差值并记录最小值。

步骤1：前缀和的构造

为了快速计算任意区域的美味度，我们使用前缀和：

行前缀和：每一行的前缀和数组存储该行从左到当前位置的美味度总和。
- 公式：
  ${row\_prefix}[i][j+1] = {row\_prefix}[i][j] + \text{a}[i][j]$
- 效果：快速获取第 $i$ 行从第1列到第 $j$ 列的美味度。
列前缀和：每一列的前缀和数组存储该列从上到当前位置的美味度总和。
- 公式：
  ${col\_prefix}[j][i+1] = {col\_prefix}[j][i] + \text{a}[i][j]$
- 效果：快速获取第 $j$ 列从第1行到第 $i$ 行的美味度。

步骤2：尝试横向切割

对于横向切割，在每一行之间切割，切割后的两部分分别为：

上半部分：前 $i$ 行的美味度总和。
下半部分：剩余行的美味度总和。

通过总美味度和上半部分美味度，可以快速计算下半部分美味度：

${bottom\_sum} = {total\_sum} - {top\_sum}$

记录美味度差值的绝对值 $∣s1−s2∣$ ，更新最小值。

步骤3：尝试纵向切割

对于纵向切割，在每一列之间切割，切割后的两部分分别为：

左半部分：前 $j$ 列的美味度总和。
右半部分：剩余列的美味度总和。

通过总美味度和左半部分美味度，可以快速计算右半部分美味度：

${right\_sum} = {total\_sum} - {left\_sum}$

记录美味度差值的绝对值 $∣s1−s2∣$ ，更新最小值。

步骤4：输出结果

在横向和纵向切割中找到的最小差值即为答案。

代码实现

def solution(n: int, m: int, a: list) -> int:
    # 计算行前缀和和列前缀和
    row_prefix = [[0] * (m + 1) for _ in range(n)]
    col_prefix = [[0] * (n + 1) for _ in range(m)]

    # 填充前缀和
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            row_prefix[i][j + 1] = row_prefix[i][j] + a[i][j]
            col_prefix[j][i + 1] = col_prefix[j][i] + a[i][j]

    # 蛋糕总美味度
    total_sum = sum(row_prefix[i][m] for i in range(n))

    # 初始化最小差值
    min_diff = float('inf')

    # 横向切割
    for i in range(1, n):  # 从第1行开始尝试切割
        top_sum = sum(row_prefix[k][m] for k in range(i))  # 上半部分美味度
        bottom_sum = total_sum - top_sum  # 下半部分美味度
        min_diff = min(min_diff, abs(top_sum - bottom_sum))

    # 纵向切割
    for j in range(1, m):  # 从第1列开始尝试切割
        left_sum = sum(col_prefix[k][n] for k in range(j))  # 左半部分美味度
        right_sum = total_sum - left_sum  # 右半部分美味度
        min_diff = min(min_diff, abs(left_sum - right_sum))

    return min_diff


if __name__ == '__main__':
    assert solution(2, 3, [[1, 1, 4], [5, 1, 4]]) == 0
    assert solution(3, 3, [[3, 2, 1], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) == 3
    assert solution(2, 2, [[1, 2], [3, 4]]) == 2

时间复杂度分析

前缀和计算：
- 遍历 $n \times m$ 的矩阵，时间复杂度为 $O(n \times m)$ 。
横向切割：
- 遍历所有行，计算累积和，时间复杂度为 $O(n)$ 。
纵向切割：
- 遍历所有列，计算累积和，时间复杂度为 $O(m)$ 。

总时间复杂度为： $O(n \times m) + O(n) + O(m) = O(n \times m)$

空间复杂度分析

使用了两个辅助数组存储前缀和，空间复杂度为：
- 行前缀和： $O(n \times (m+1))$
- 列前缀和： $O(m \times (n+1))$

空间复杂度为 $O(n \times m)$ 。

测试样例解析

样例1：

输入：

n = 2, m = 3, a = [[1, 1, 4], [5, 1, 4]]

总美味度： $16$ 。
最佳切割位置在第二列和第三列之间，左右部分美味度分别为 $8$ 和 $8$ 。
输出： $0$ 。

样例2：

输入：

n = 3, m = 3, a = [[3, 2, 1], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

总美味度： $45$ 。
最佳切割位置在第二行和第三行之间，上下部分美味度分别为 $21$ 和 $24$ 。
输出： $3$ 。

样例3：

输入：

n = 2, m = 2, a = [[1, 2], [3, 4]]

总美味度： $10$ 。
最佳切割位置在第一列和第二列之间，左右部分美味度分别为 $4$ 和 $6$ 。
输出： $2$ 。

总结

该方法使用前缀和优化了美味度的计算，遍历所有可能的切割位置并找到最优解。

第201题 小M的蛋糕切割问题