问题描述
小C希望构造一个包含n个元素的数组，且满足以下条件：
- 数组中的所有元素两两不同。
- 数组所有元素的最大公约数为
k。 - 数组元素之和尽可能小。
任务是输出该数组元素之和的最小值。
测试样例
样例1：
输入：
n = 3 ,k = 1
输出：6
样例2：
输入：
n = 2 ,k = 2
输出：6
样例3：
输入：
n = 4 ,k = 3
输出：30
问题分析
我们需要构造一个包含 nn 个元素的数组，使得满足以下条件：
- 数组中的所有元素两两不同。
- 数组所有元素的最大公约数（GCD）为 kk。
- 数组元素的和尽可能小。
要求输出数组元素之和的最小值。
解题思路
-
最大公约数为 kk：
- 数组中的每个元素都必须是 kk 的倍数。假设数组的元素为 a1,a2,…,ana1,a2,…,an，那么每个 ai=k×biai=k×bi，其中 bibi 是整数。
- 为了确保最大公约数为 kk，我们可以选择 bibi 的值，使得 gcd(b1,b2,…,bn)=1gcd(b1,b2,…,bn)=1，即这些 bibi 互质。
-
数组元素两两不同：
- 为了使数组元素不同，选择 bibi 必须互不相同。
-
元素和最小：
- 为了使数组的元素之和尽可能小，我们应该选择最小的互质的 bibi 值。由于 bibi 必须互质，并且为了最小化和，选择连续的自然数作为 bibi 是一个合理的选择。
- 我们可以选择 bi=1,2,3,…,nbi=1,2,3,…,n，这样 b1,b2,…,bnb1,b2,…,bn 互质。
-
构造数组：
- 由上述分析可得，数组的元素应该是 ai=k×biai=k×bi，其中 bibi 为从 1 到 nn 的连续整数。
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元素和最小：
-
数组元素之和为：
sum=k×(1+2+3+⋯+n)sum=k×(1+2+3+⋯+n)
这是一个等差数列的和，计算公式为：
sum=k×n×(n+1)2sum=k×2n×(n+1)
-
解法实现
pythonCopy Code
def min_sum(n, k):
# 计算1到n的和
total_sum = n * (n + 1) // 2
# 结果是k乘以这个和
return k * total_sum
# 测试样例
print(min_sum(3, 1)) # 输出：6
print(min_sum(2, 2)) # 输出：6
print(min_sum(4, 3)) # 输出：30
解释
- 对于输入 nn 和 kk，我们首先计算 1 到 nn 的和，这个和是 n×(n+1)22n×(n+1)。
- 然后我们将这个和乘以 kk，得到数组元素之和的最小值。
测试
样例 1：
输入：n=3,k=1n=3,k=1
- 1 到 3 的和是 1+2+3=61+2+3=6。
- 所以数组元素的和是 1×6=61×6=6。
输出：6
样例 2：
输入：n=2,k=2n=2,k=2
- 1 到 2 的和是 1+2=31+2=3。
- 所以数组元素的和是 2×3=62×3=6。
输出：6
样例 3：
输入：n=4,k=3n=4,k=3
- 1 到 4 的和是 1+2+3+4=101+2+3+4=10。
- 所以数组元素的和是 3×10=303×10=30。
输出：30
时间复杂度
- 计算 1 到 nn 的和的时间复杂度是 O(1)O(1)，因为它是通过公式直接计算的。
- 总体时间复杂度是 O(1)O(1)。
该解法高效且简单，能够在常数时间内得到答案。
