背包最大价值 | 豆包MarsCode AI刷题

自律即自由TianXing
61 阅读4分钟

1. 问题背景与建模

旅行背包问题是经典的动态规划问题之一，被称为“01背包问题”。其核心在于如何在有限容量的背包中装入若干物品，使得总价值最大化。该问题不仅广泛应用于学术研究中，还具有许多现实意义，例如行李打包、资源分配、预算管理等。

问题定义：

  • 给定 n 件物品，每件物品有一个 重量 和 价值。
  • 背包容量为 m，意味着背包最多能承载重量为 m 的物品。
  • 每件物品只能被选择一次（01背包特点）。
  • 我们需要决定哪些物品放入背包，使得 总重量不超过 m 的情况下，总价值最大化。

输入输出：

  • 输入：两个数组 weights（物品重量）和 values（物品价值），以及背包容量 m。
  • 输出：最大总价值。

2. 分析与思考

解决该问题需要综合考虑以下两个限制因素：

  1. 容量限制：装入背包的物品总重量不能超过容量 m。
  2. 价值最大化：装入的物品应尽可能提升总价值。

由于无法直接穷举所有可能的组合（组合数为 (2^n)，当 (n) 较大时不可行），我们需要更高效的算法。动态规划是解决此类问题的理想工具。

3. 动态规划思路

3.1 状态定义

设 dp[j] 表示在背包容量为 j 时，能够获得的最大总价值。这里，j 的范围是从 0 到 m。

  • dp[0] 表示背包容量为 0 时的最大价值（始终为 0）。
  • dp[m] 表示背包容量为 m 时的最大价值，即我们要求解的目标。

3.2 转移方程

对于每件物品，我们有两个选择：

  1. 不选该物品：即不将当前物品装入背包，状态转移为 dp[j]。
  2. 选择该物品：即将当前物品装入背包，状态转移为 dp[j - weights[i]] + values[i]，其中 j - weights[i] 是剩余容量，values[i] 是当前物品的价值。

因此，状态转移方程为： [ dp[j] = \max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i]) ]

3.3 初始化与边界条件

  • 如果背包容量为 0（即 j=0），则无法装入任何物品，最大价值为 0，即 dp[0] = 0。
  • 初始 dp 数组的所有元素应为 0。

3.4 遍历顺序

  • 物品遍历：逐一考虑每件物品。
  • 容量遍历：为防止重复计算，容量从大到小遍历（保证当前物品只被选择一次）。

4. 实现与分析

4.1 实现代码

以下是基于动态规划的代码实现：

python
 代码解读
复制代码
def knapsack(weights, values, m):
    # 初始化 dp 数组
    dp = [0] * (m + 1)
    
    # 遍历每个物品
    for i in range(len(weights)):
        # 从背包容量 m 递减到物品重量
        for j in range(m, weights[i] - 1, -1):
            # 状态转移
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i])
    
    return dp[m]  # 返回背包容量为 m 时的最大价值

4.2 复杂度分析

  • 时间复杂度：动态规划的核心是双重循环。外层遍历物品数量 n，内层遍历容量 m，因此时间复杂度为 (O(n \cdot m))。
  • 空间复杂度：我们只使用一个一维数组 dp，因此空间复杂度为 (O(m))。

5. 举例说明

示例输入：

plaintext
 代码解读
复制代码
weights = [2, 3, 4, 5]
values = [3, 4, 5, 6]
m = 5

解题步骤：

  1. 初始化 dp 数组为 [0, 0, 0, 0, 0, 0]（长度为 m+1）。

  2. 考虑第 1 件物品（重量 2，价值 3）：

    • 更新 dp[5] 到 dp[2]：

      plaintext
 代码解读
复制代码
dp = [0, 0, 3, 3, 3, 3]

  3. 考虑第 2 件物品（重量 3，价值 4）：

    • 更新 dp[5] 到 dp[3]：

      plaintext
 代码解读
复制代码
dp = [0, 0, 3, 4, 4, 7]

  4. 考虑第 3 件物品（重量 4，价值 5）：

    • 更新 dp[5] 到 dp[4]：

      plaintext
 代码解读
复制代码
dp = [0, 0, 3, 4, 5, 7]

  5. 考虑第 4 件物品（重量 5，价值 6）：

    • 更新 dp[5]：

      plaintext
 代码解读
复制代码
dp = [0, 0, 3, 4, 5, 7]

  6. 最终结果为 dp[5] = 7。

6. 总结与启发

01背包问题虽然是一道经典的算法题，但它的解决思路远不局限于“写出正确代码”。在解决问题的过程中，我们需要：

  1. 从问题建模开始，明确输入、输出和约束条件。
  2. 分析解法的核心思路，找出限制因素与优化目标。
  3. 权衡解法优劣，结合实际需求选择合适的算法。

更重要的是，背包问题的思想广泛应用于现实场景，例如资源分配、预算优化等。在这些应用中，动态规划的思维和解决方法，能够帮助我们找到更高效、更科学的解决方案。

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