青训营X豆包MarsCode 技术训练营第三课 ｜ 豆包MarsCode AI 刷题

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小C希望构造一个包含n个元素的数组，且满足以下条件：

1. 数组中的所有元素两两不同。
2. 数组所有元素的最大公约数为 k。
3. 数组元素之和尽可能小。

任务是输出该数组元素之和的最小值。

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测试样例

样例1：

输入：n = 3 ,k = 1
输出：6

样例2：

输入：n = 2 ,k = 2
输出：6

样例3：

输入：n = 4 ,k = 3
输出：30 我们需要构造一个包含 nn 个元素的数组，且满足以下条件：

1. 所有元素两两不同。
2. 数组所有元素的最大公约数为 kk。
3. 数组元素之和尽可能小。

分析

1. 元素的最大公约数为 kk：这意味着数组中的每个元素必须是 kk 的倍数。例如，如果 k=3k=3，那么数组的每个元素都必须是 3 的倍数。
2. 所有元素两两不同：数组中的每个元素必须是唯一的。
3. 元素之和尽可能小：为了使元素之和最小，我们应选择最小的 kk 的倍数，但同时又要确保它们两两不同。

解法步骤

• 对于每个 kk，我们可以选择最小的 kk 的倍数开始，如 k,2k,3k,…k,2k,3k,…。
• 因为我们要选择 nn 个不同的数，我们从 kk 开始选择，选择的数应当依次为 k,2k,3k,…,nkk,2k,3k,…,nk。
• 最后，所有选出的数的和就是我们想要的最小和。

结论

我们可以直接选择数列 k,2k,3k,…,nkk,2k,3k,…,nk，它们的最大公约数就是 kk，且元素两两不同。

数学推导

数列的和为：

S=k×(1+2+3+⋯+n)S=k×(1+2+3+⋯+n)

使用等差数列求和公式，1+2+⋯+n=n(n+1)21+2+⋯+n=2n(n+1)​，因此总和为：

S=k×n(n+1)2S=k×2n(n+1)​

代码实现

pythonCopy Code
def min_sum(n, k):
    # 计算数列的和
    return k * (n * (n + 1)) // 2

# 测试样例
print(min_sum(3, 1))  # 输出：6
print(min_sum(2, 2))  # 输出：6
print(min_sum(4, 3))  # 输出：30

解释

1. 样例 1 (n = 3, k = 1)：

   • 选取数列 1,2,31,2,3，它们的和为 1+2+3=61+2+3=6，符合条件。

2. 样例 2 (n = 2, k = 2)：

   • 选取数列 2,42,4，它们的和为 2+4=62+4=6，符合条件。

3. 样例 3 (n = 4, k = 3)：

   • 选取数列 3,6,9,123,6,9,12，它们的和为 3+6+9+12=303+6+9+12=30，符合条件。

结论

该算法通过选择最小的 kk 的倍数来确保最大公约数为 kk，且元素两两不同，同时保证了最小的元素和。