青训营X豆包MarsCode 技术训练营｜豆包MarsCode AI 刷题 | Java区间动态规划问题解析——最大乘积子区间问题

在算法学习中，区间问题常常是动态规划的重点之一。今天我们来解决一道关于区间最大乘积的问题，并深入探讨如何通过优化算法设计来高效解决它。

题目描述

问题背景：

给定一个长度为 nn 的数组，数组元素仅由集合 [0,1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024][0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024] 中的值组成。要求在数组中找到一段连续的子区间，使其乘积最大。

输出要求：

如果有多个区间满足最大乘积的条件：

优先选择左端点 xx 较小的区间。
如果左端点相同，则选择右端点 yy 较小的区间。

样例解析

输入样例 1：
```
输入：
5
1 2 4 0 8
输出：
1 3
```
- 区间 [1,3][1, 3] 和 [5,5][5, 5] 的乘积均为 8。
- 选择左端点较小的 [1,3][1, 3]。
输入样例 2：
```
输入：
7
1 2 4 8 0 256 0
输出：
6 6
```
- 区间 [6,6][6, 6] 的乘积为 256，为最大乘积。

解题思路

为了解决这个问题，我们需要处理以下几个关键点：

最大乘积的计算：
- 当数组中没有 00 时，所有区间都有效，使用滑动窗口即可快速找到最大乘积。
- 当数组中存在 00 时，区间的乘积会被分割，需要在每个非零子数组中分别计算。
如何避免乘积溢出：
- 由于输入数字都是 2k2^k 的形式，乘积可以用对数来处理。将乘法转化为加法，可以避免溢出。
最优区间的选择：
- 在找到多个相同乘积的区间时，优先选择左端点最小的区间。
算法优化：
- 使用动态规划或前缀积思想优化计算，避免暴力枚举。

代码实现

下面是基于上述思路的具体代码实现：

import java.util.Arrays;

public class Main {
    public static int[] solution(int n, int[] arr) {
        int maxProduct = 0;  // 最大乘积
        int start = 0, end = 0;  // 记录最大乘积区间的起始和结束位置
        int currentProduct = 1;  // 当前区间的乘积
        int tempStart = 0;  // 临时记录当前区间起点

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (arr[i] == 0) {  // 碰到0，重新开始计算
                currentProduct = 1;
                tempStart = i + 1;
                continue;
            }

            currentProduct *= arr[i];

            if (currentProduct > maxProduct) {
                maxProduct = currentProduct;
                start = tempStart;
                end = i;
            } else if (currentProduct == maxProduct) {
                // 如果乘积相同，优先选择左端点小的
                if (tempStart < start || (tempStart == start && i < end)) {
                    start = tempStart;
                    end = i;
                }
            }
        }

        return new int[]{start + 1, end + 1};  // 转为从1开始的索引
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(Arrays.equals(solution(5, new int[]{1, 2, 4, 0, 8}), new int[]{1, 3}));
        System.out.println(Arrays.equals(solution(7, new int[]{1, 2, 4, 8, 0, 256, 0}), new int[]{6, 6}));
    }
}

代码解析

初始化变量：
- maxProduct：记录当前最大乘积。
- currentProduct：记录当前区间的乘积，初始化为 1。
- start 和 end：记录最大乘积区间的起止索引。
- tempStart：用于暂时记录当前区间的起点。
遍历数组：
- 遇到 0 时，将乘积重置为 1，同时更新临时起点为下一位置。
- 否则，将当前元素乘入 currentProduct，更新最大乘积以及对应的区间索引。
区间选择：
- 当 currentProduct == maxProduct 时，比较起点 tempStart 和终点 end，确保选择最优区间。
返回结果：
- 最后输出的是从 1 开始的索引，因此需要将索引加 1。

边界条件

只有一个元素：如 n = 1 时，直接输出 [1, 1]。
全为零的数组：乘积为零，无需处理区间选择。
多个区间乘积相同：根据题目要求，选择最左侧起点最小的区间。

测试用例分析

测试用例 1：输入：5, [1, 2, 4, 0, 8]
输出：[1, 3]
解释：区间 [1,3][1, 3] 的乘积为 8，最优解。
测试用例 2：输入：7, [1, 2, 4, 8, 0, 256, 0]
输出：[6, 6]
解释：区间 [6,6][6, 6] 的乘积为 256，最大乘积且最左。
边界测试：
- 输入：1, [0]，输出：[1, 1]。
- 输入：3, [0, 0, 0]，输出：[1, 1]。

时间复杂度分析

遍历数组：
- 主循环遍历一次数组，时间复杂度为 O(n)O(n)。
更新乘积与区间：
- 每次更新操作为常数时间，复杂度为 O(1)O(1)。

总时间复杂度为 O(n)O(n)，空间复杂度为 O(1)O(1)，非常高效。

总结与反思

这道题目虽然看似简单，但它涉及到多个关键点的处理：

通过乘积转化对区间的理解。
优化边界条件的判断。
在同乘积条件下的区间最优选择。

在实际开发中，这种思维方式可以应用于很多类似的问题，比如最大子数组和、连续子数组乘积等。希望这篇博客能对你有所启发！ 😊

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