字节青训营 数组元素之和最小化

问题描述

小C希望构造一个包含n个元素的数组，且满足以下条件：

1. 数组中的所有元素两两不同。
2. 数组所有元素的最大公约数为 k。
3. 数组元素之和尽可能小。

任务是输出该数组元素之和的最小值。

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测试样例

样例1：

输入：n = 3 ,k = 1
输出：6

样例2：

输入：n = 2 ,k = 2
输出：6

样例3：

输入：n = 4 ,k = 3
输出：30

实现代码

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
 
public class Main {
    public static int solution(int n, int k) {
        List<Integer> list=new ArrayList<>();
        for(int i=1;i<=n;i++){
            list.add(k*i);
        }
        return list.stream().mapToInt(Integer::intValue).sum();
    }
 
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(solution(3, 1) == 6);
        System.out.println(solution(2, 2) == 6);
        System.out.println(solution(4, 3) == 30);
    }
}

1. 分析条件与目标

• 条件理解：

  • 要构造一个包含 n 个元素的数组，元素两两不同，且它们的最大公约数是给定的 k。这意味着数组中的每个元素都可以写成 k 乘以某个整数的形式（因为最大公约数为 k）。
  • 目标是让数组元素之和尽可能小。

• 关键思考点：为了使和最小，我们希望选取的 k 的倍数尽可能小，同时又要保证它们两两不同且满足最大公约数为 k 这个条件。

2. 确定元素选取策略

• 从最小倍数开始选取：

  • 由于每个元素都是 k 的倍数，那我们可以从 k 的最小正整数倍数开始考虑，即依次选取 k×1，k×2，k×3，…… 这样的形式。
  • 按照这样的顺序选取能保证选取的数相对较小，有助于使总和最小化，同时只要按照顺序选取足够数量（n 个）的不同倍数，就能满足元素两两不同的要求。

3. 计算元素之和

• 构建数组并求和：

  • 根据上述选取策略，构造出的数组元素分别为 k×1，k×2，k×3，……，k×n。
  • 那么数组元素之和就是 k×1 + k×2 + k×3 + … + k×n，利用乘法分配律可转化为 k×(1 + 2 + 3 + … + n)。
  • 而 1 + 2 + 3 + … + n 是一个等差数列求和，其求和公式为 n×(n + 1) / 2。
  • 所以最终数组元素之和为 k × n×(n + 1) / 2。

4. 示例验证

• 样例 1：

  • 输入 n = 3，k = 1，按照上述公式计算元素之和为 1×3×(3 + 1) / 2
  • 先算括号内 3 + 1 = 4，再算乘法 3×4 = 12，最后算除法 12 / 2 = 6，与输出结果相符。

• 样例 2：

  • 输入 n = 2，k = 2，元素之和为 2×2×(2 + 1) / 2
  • 先算括号内 2 + 1 = 3，再算乘法 2×3 = 6，与输出结果一致。

• 样例 3：

  • 输入 n = 4，k = 3，计算元素之和为 3×4×(4 + 1) / 2
  • 先算括号内 4 + 1 = 5，接着 4×5 = 20，最后 3×20 / 2 = 30，同样符合输出。