最短路349题解 | 豆包MarsCode AI刷题

最短路径问题：寻找通过其他点绕行的最短路线

问题描述

在一个平面地图上标记了若干个点，每个点都有其二维坐标。通常情况下，任意两点之间都存在一条直线路径，其长度等于两点间的欧几里得距离。现在，由于某些原因，起点和终点之间的直接路径不可用。我们需要计算从起点到终点，允许通过其他点绕行，但不能通过直接的起终点路径的最短距离。

核心思路

本问题的核心在于使用图论中的最短路径算法来解决，具体而言，使用了迪杰斯特拉（Dijkstra）算法。算法的主要难点在于处理特殊情况，即直接从起点到终点的路径不可用。这要求我们在算法执行过程中，避免通过该直线路径。

滑动窗口解析

滑动窗口算法：对于每个点，计算与其他所有点之间的距离，并存储这些值。使用一个优先队列（最小堆）来维护当前未处理的最短路径。

字符替换计数：在处理过程中，我们确保不通过直接的起点至终点路径，这可以通过在遍历邻接点时加以判断来实现。

计算并更新最大长度：通过维护一个距离数组，记录从起点到每一个点的最短距离，从而找到从起点到终点的最短路径。

算法详解

在实现时，首先初始化所有点之间的距离矩阵。接着，通过Dijkstra算法，从起点开始，更新通过各点到达其他点的最短路径长度。关键在于，每次从优先队列中取出当前最短路径的点时，跳过那些不符合条件的路径（即直接从起点到终点的路径）。

复杂度分析

• 时间复杂度：主要消耗在两个方面，一是初始化距离矩阵，其复杂度为 O(n2)O(n^2)O(n2)，二是Dijkstra算法本身，复杂度为 O((n2+n)log⁡n)O((n^2 + n) \log n)O((n2+n)logn)，因为每个节点都可能进出优先队列。
• 空间复杂度：主要消耗在存储距离矩阵和优先队列，总体为 O(n2)O(n^2)O(n2)。

C++代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <limits>
#include <iomanip>

using namespace std;

// 计算两点之间的欧几里得距离
double calculate_distance(int x1, int y1, int x2, int y2) {
    return sqrt((x1 - x2) * (x1 - x2) + (y1 - y2) * (y1 - y2));
}

// Dijkstra算法实现
double dijkstra(int start, int end, const vector<vector<double>>& dist, int n) {
    // 如果起点等于终点，我们需要找到一个最小的环
    if (start == end) {
        double min_cycle = numeric_limits<double>::max();
        // 尝试通过每个中间点构建一个环
        for (int mid = 0; mid < n; ++mid) {
            if (mid != start - 1) {
                // 从起点到中间点，再返回起点的距离
                double cycle_dist = dist[start - 1][mid] + dist[mid][start - 1];
                min_cycle = min(min_cycle, cycle_dist);
            }
        }
        return min_cycle;
    }

    // 初始化距离数组和访问标记
    vector<double> distances(n, numeric_limits<double>::max());
    distances[start - 1] = 0;
    priority_queue<pair<double, int>, vector<pair<double, int>>, greater<pair<double, int>>> pq;
    pq.push({0, start - 1});
    vector<bool> visited(n, false);

    while (!pq.empty()) {
        double d = pq.top().first;
        int curr = pq.top().second;
        pq.pop();

        if (visited[curr]) continue;
        visited[curr] = true;

        if (curr == end - 1) return d;

        // 遍历所有相邻节点
        for (int next_node = 0; next_node < n; ++next_node) {
            // 跳过已访问的节点和不允许的直接路径
            if (visited[next_node] || (curr == start - 1 && next_node == end - 1) || (curr == end - 1 && next_node == start - 1)) {
                continue;
            }

            double new_dist = d + dist[curr][next_node];

            if (new_dist < distances[next_node]) {
                distances[next_node] = new_dist;
                pq.push({new_dist, next_node});
            }
        }
    }

    return numeric_limits<double>::max();
}

string solution(int n, int s, int t, const vector<int>& x, const vector<int>& y) {
    // 构建邻接矩阵
    vector<vector<double>> dist(n, vector<double>(n, 0));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (i != j) {
                dist[i][j] = calculate_distance(x[i], y[i], x[j], y[j]);
            }
        }
    }

    // 计算最短路径并格式化结果
    double result = dijkstra(s, t, dist, n);
    ostringstream oss;
    oss << fixed << setprecision(2) << result;
    return oss.str();
}

int main() {
    // 原有测试用例
    cout << (solution(5, 1, 5, {17253, 25501, 28676, 30711, 18651}, {15901, 15698, 32041, 11015, 9733}) == "17333.65") << endl;
    cout << (solution(4, 2, 4, {5000, 12000, 8000, 14000}, {3000, 9000, 1000, 4000}) == "15652.48") << endl;
    cout << (solution(6, 3, 6, {20000, 22000, 24000, 26000, 28000, 30000}, {15000, 13000, 11000, 17000, 19000, 21000}) == "11772.70") << endl;

    // 新增测试用例：起点终点相同的情况
    cout << (solution(10, 2, 2, {11, 3, 5, 6, 2, 4, 15, 14, 16, 8}, {5, 8, 7, 14, 8, 10, 5, 4, 2, 9}) == "2.00") << endl;

    return 0;
}

实际应用

该算法不仅适用于理论中的最短路径问题，也可以扩展到现实世界中的路线规划，特别是在某些路径不可用或存在临时维修的情况下。例如，在交通导航系统中，经常需要绕过某些因交通事故或施工关闭的路段。

思考与挑战

尽管Dijkstra算法非常有效，但在节点数量非常大时，其性能可能会受到影响。一个可能的改进方案是采用更高效的算法，如A*或者是Floyd-Warshall算法，后者可以同时处理所有点对的最短路径问题，特别适用于点数量不是非常大，但需要频繁查询任意两点间最短路径的场景。

总结

本问题通过将地理坐标映射为图论中的点和边，并利用图算法解决实际问题，展示了数学工具在解决现实问题中的强大能力。对于计算机科学和地理信息系统等领域的学者和专业人士来说，理解并掌握这些算法是必不可少的。