def solution(n, k, data): dp = [[float('inf')] * (k + 1) for _ in range(n + 1)] dp[0][0] = 0
for i in range(1, n + 1):
for l in range(k):
for j in range(k):
if l - j + 1 >= 0 and l - j + 1 <= k:
dp[i][l] = min(dp[i][l], dp[i - 1][j] + (l - j + 1) * data[i - 1])
# print(dp)
return dp[n][0]
if name == "main": print(solution(5, 2, [1, 2, 3, 3, 2]) == 9) print(solution(6, 3, [4, 1, 5, 2, 1, 3]) == 9) print(solution(4, 1, [3, 2, 4, 1]) == 10)
solution 函数试图通过动态规划解决一个优化问题。它的目标是给定参数 ( n )（元素数量）、( k )（一个特定的限制或条件）和 data（一个成本或权重数组），最小化某种成本。
动态规划表
-
初始化：
- 函数初始化了一个大小为
(n + 1) x (k + 1)的二维列表dp，用float('inf')填充，表示所有状态最开始都被认为是不可达或成本无穷大。 - 初始点
dp[0][0]设置为0，意味着在没有选择任何元素的情况下，成本为0。
- 函数初始化了一个大小为
-
填充 DP 表：
- 外层循环遍历前 ( n ) 个元素。
- 中间循环遍历考虑的元素数量（最大为 ( k )）。
- 最内层循环遍历前一个状态的数量 ( j )，计算将当前元素（由
data[i - 1]表示）纳入考虑是否会使当前状态 ( l ) 的成本更低。 - 特别地，检查从 ( j ) 到 ( l ) 的变换是否合法，变换受 ( (l - j + 1) ) 的影响，再乘以当前元素的成本。
- 这个条件确保了
dp[i][l]的更新考虑了所有有效的从dp[i-1][j]的转移。
-
返回值：
- 最后，函数返回
dp[n][0]，表示在考虑所有元素后，能够实现的最小成本。
- 最后，函数返回
示例输出
在 if __name__ == "__main__": 部分，代码测试了函数的几个示例，以验证其功能：
solution(5, 2, [1, 2, 3, 3, 2])应返回9solution(6, 3, [4, 1, 5, 2, 1, 3])应返回9solution(4, 1, [3, 2, 4, 1])应返回10让我们更详细地分析这段代码的逻辑，并补充背景信息，以帮助理解动态规划（Dynamic Programming，DP）在这个上下文中的应用。
代码逻辑详解
1. 动态规划表的初始化
dp = [[float('inf')] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
dp[0][0] = 0
- 创建一个大小为
(n + 1) x (k + 1)的二维数组dp，其中dp[i][l]表示在考虑前i个元素时，如果目标是形成某种状态l，所需的最小成本。 - 将所有的初始值设置为正无穷 (
float('inf'))，表示这些状态一开始是不可达的。 - 设置
dp[0][0] = 0，表示在没有处理任何元素（即i = 0）和没有形成任何状态（即l = 0）时，所需成本为0。
2. 填充动态规划表
接下来是填充动态规划表的过程。这一部分的核心逻辑可以分解如下：
for i in range(1, n + 1):
for l in range(k):
for j in range(k):
if l - j + 1 >= 0 and l - j + 1 <= k:
dp[i][l] = min(dp[i][l], dp[i - 1][j] + (l - j + 1) * data[i - 1])
- 外层循环 (
for i in range(1, n + 1))：遍历所有数据元素，从1到n。 - 中间循环 (
for l in range(k))：考虑目标状态l的所有可能值（从0到k-1）。 - 内层循环 (
for j in range(k))：遍历状态j，它是前一个元素的状态，用来计算当前状态转移的成本。
条件判断和状态转移
if l - j + 1 >= 0 and l - j + 1 <= k：确保从状态j转移到状态l是有效的。其中l - j + 1表示从前一个状态j到当前状态l的变化量。- 成本的计算为
dp[i - 1][j] + (l - j + 1) * data[i - 1]：dp[i - 1][j]是在处理前i-1个元素时形成状态j的最小成本。(l - j + 1) * data[i - 1]是将当前元素data[i - 1]纳入考虑所带来的额外成本，变化量再乘以当前元素的权重。
- 使用
min(...)更新当前状态dp[i][l]，保证保存最小成本。
3. 最终结果
return dp[n][0]
- 函数最终返回
dp[n][0]，表示在考虑所有n个元素后，实现目标状态0的最小成本。这是算法的终点，意味着我们希望以最小的成本达到一种称为状态0的结果。
示例输出分析
在测试部分中，分别调用 solution 函数并对输出进行验证，目的在于确保实现的动态规划算法正确无误。
if __name__ == "__main__":
print(solution(5, 2, [1, 2, 3, 3, 2]) == 9) # 应返回 True
print(solution(6, 3, [4, 1, 5, 2, 1, 3]) == 9) # 应返回 True
print(solution(4, 1, [3, 2, 4, 1]) == 10) # 应返回 True
这些示例测试了不同的数据输入，以验证最终计算出的最小成本是否符合预期。
总结
这段代码有效地运用了动态规划技术来处理一个优化问题，核心在于通过构建状态转移表 dp，逐步考虑所有可能的选择来找到最小成本。动态规划的本质是在于通过“小问题”的解来逐步构建“大问题”的解，从而使计算过程更加高效。
