最大矩形面积问题 | 豆包MarsCode AI刷题题目解析本题的目标是从一个给定的高度数组中，对于每一个长度为 k

题目解析

本题的目标是从一个给定的高度数组中，对于每一个长度为 k 的相邻子数组，计算出其最大矩形面积，最终输出所有可能的 k 中最大矩形面积。

首先，我们需要理解矩形面积的定义。给定一个数组中的一段连续子数组 $h[i],h[i+1],…,h[i+k−1]$ ，该段子数组的矩形面积可以通过以下公式计算：

$R(k)=k×min⁡(h[i],h[i+1],…,h[i+k−1])$

其中，k 是当前子数组的长度，min⁡(h[i],h[i+1],…,h[i+k−1])\min(h[i], h[i+1], \dots, h[i+k-1])min(h[i],h[i+1],…,h[i+k−1]) 是该子数组中的最小元素值。

思路分析

我们需要通过穷举所有可能的子数组长度 k 来寻找最大矩形面积。对于每一个长度为 k 的子数组，我们需要找到其最小值，然后计算面积并更新最大值。

枚举所有可能的子数组长度 k：从 k=1 到 k=n（数组长度），对于每一个 k，我们都要找到所有长度为 k 的子数组。
计算每个子数组的面积：对于每个子数组，找到它的最小高度，然后根据公式计算面积 R(k)。
更新最大面积：通过不断比较计算得到的面积，更新最大矩形面积。

解题步骤

外层循环：遍历所有可能的子数组长度 k，从 1 到 n。
内层循环：对于每一个 k，遍历所有可能的起点 i，并计算以该起点开始的长度为 k 的子数组的最小值。
计算面积：计算每个子数组的面积 $k×min⁡(h[i],h[i+1],…,h[i+k−1])$ ，并更新最大面积。

代码详解

def solution(n, array):
    max_area = 0  # 初始化最大面积为 0

    # 遍历所有可能的 k 值
    for k in range(1, n + 1):
        print(f"k={k}")  # 输出当前子数组的长度

        # 遍历数组，计算以每个元素为起点，长度为 k 的子数组的最小值
        for i in range(n - k + 1):
            print(f"i={i}")  # 输出当前子数组的起始位置
            # 计算当前子数组的最小值
            min_height = min(array[i:i + k])
            # 计算当前子数组的面积
            current_area = k * min_height
            # 更新最大面积
            print(f"最大面积:{current_area}")
            max_area = max(max_area, current_area)

    return max_area

if __name__ == "__main__":
    # 测试样例
    print(solution(5, [1, 2, 3, 4, 5]) == 9)  # 预期输出 9

代码分析：

初始化：首先我们定义一个变量 max_area 来记录当前最大面积。
外层循环：for k in range(1, n + 1)，遍历所有可能的子数组长度。
内层循环：for i in range(n - k + 1)，遍历每个可能的起始位置 iii，确保子数组的长度不超过数组边界。
最小值计算：min(array[i:i + k]) 用来找出当前子数组中的最小值。
面积计算：根据公式 $k×min⁡(h[i],h[i+1],…,h[i+k−1])$ 计算当前子数组的面积，并更新 max_area。
返回值：最后返回 max_area，即最大矩形面积。

知识总结

在解决这道题的过程中，我总结出了一些关键的知识点：

滑动窗口的思想：题目要求对每一个长度为 k 的子数组求最小值，并计算矩形面积。虽然本题没有直接使用滑动窗口优化最小值的求解，但这个过程可以使用滑动窗口技术进行优化。
枚举所有子数组：题目中涉及到的枚举所有长度为 k 的子数组，这样的思路对于很多类似的“区间问题”都可以适用。通过内外层循环嵌套，我们可以遍历所有的子数组。
时间复杂度优化：虽然本解法的时间复杂度为 $O(n^3)$ ，因为每次都要计算最小值，但在实际问题中，常常可以通过一些优化（如单调栈或滑动窗口）将其优化到 $O(n^2)$ 或 $O(n)$ 。
最小值计算：在实际编码时，直接使用 min() 函数来求解子数组的最小值是简洁且易于理解的，但在大规模数据情况下，需要考虑其性能瓶颈。

对其他同学的学习建议

从简单入手：对于类似的题目，首先可以从暴力解法入手，理解题目和基本的算法思想后，再进行优化。
理解题目中的定义：这类题目常常会有一些抽象的数学公式或者特殊的定义，理解这些定义对于解决问题至关重要。在本题中，矩形面积的计算公式就是关键。
优化思维：在暴力解法的基础上，学会寻找优化点。在本题中，如果能使用单调栈来求解最小值，可能会显著提升性能。
边界情况：一定要注意处理数组的边界情况，例如空数组或者数组长度为1的情况。

通过不断练习和总结，可以在解题过程中发现更多优化的空间，提高自己的编程能力和算法思维。