分组问题的解决与分析
问题描述
给定一个数组，将其分为两组，使得两组数字的和的个位数分别等于目标值 A 和 B。此外，允许其中一组为空，但剩余数字和的个位数必须等于 A 或 B。我们需要计算满足条件的所有可能划分方式。
例如：
- 数组
[1, 1, 1]，目标 A = 1, B = 2：三种可能划分。 - 数组
[1, 1, 1]，目标 A = 3, B = 5：只有一种划分方式。
解题思路
1. 转化问题的核心
此问题的关键在于：
- 数字归约：所有数字仅影响和的个位数，因此可以将所有数组元素对 10 取模以简化计算。
- 总和验证：数组所有数字之和的个位数决定了划分的可行性。如果总和的个位数无法拆分为目标 A 和 B，则直接返回 0。
- 动态规划建模：通过状态转移的方式，枚举数组中每个数字是否放入某一组，从而统计满足条件的方案数。
2. 特殊情况
- 一组为空：如果允许一组为空，则需要额外验证总和是否等于目标 A 或 B。
- 无解情况：若总和的个位数无法被分解为 A 和 B 的和（模 10），则直接返回 0。
3. 动态规划设计
设 dp[i][j] 表示从前 i 个数字中选择若干数字，使它们的和的个位数为 j 的方案数。动态规划的状态转移方程如下：
dp[i][j] = dp[i-1][j]（不选择第 i 个数字）。dp[i][j] += dp[i-1][(j - array[i-1] + 10) % 10]（选择第 i 个数字）。
最终结果为可以使得和的个位数为 B 的所有方案数。
4. 总体算法流程
- 将数组元素归约到个位数。
- 计算数组总和的个位数并进行初步判断。
- 使用动态规划枚举所有可能的分组情况，统计结果。
实现代码
以下是问题的完整 C++ 实现代码：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <numeric>
using namespace std;
int solution(int n, int A, int B, vector<int>& array_a) {
// 将元素规范化到 [0, 9] 的范围内
for (int& x : array_a) {
x %= 10;
}
int total_sum = accumulate(array_a.begin(), array_a.end(), 0) % 10;
// 可以有一组为空，另一组为非空
if (total_sum == A || total_sum == B) {
return 1;
}
// 两个组的和的个位数不可能等于总和的个位数
if (total_sum != (A + B) % 10) {
return 0;
}
// dp[i][j] 表示前 i 个数中可以组成个位数为 j 的数量
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(10, 0));
dp[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j < 10; j++) {
dp[i][j] += dp[i - 1][j]; // 不将第 i 个数字放入第一组
dp[i][j] += dp[i - 1][(j - array_a[i - 1] + 10) % 10]; // 将第 i 个数字放入第一组
}
}
return dp[n][B];
}
int main() {
// 测试样例
std::vector<int> array1 = {1, 1, 1};
std::vector<int> array2 = {1, 1, 1};
std::vector<int> array3 = {1, 1};
std::cout << (solution(3, 1, 2, array1) == 3) << std::endl;
std::cout << (solution(3, 3, 5, array2) == 1) << std::endl;
std::cout << (solution(2, 1, 1, array3) == 2) << std::endl;
return 0;
}
思考与总结
- 动态规划的优点：将全排列问题转化为状态转移问题，大大降低了时间复杂度，避免了直接枚举的指数爆炸。
- 边界条件的重要性：一组为空的特殊情况需要单独考虑，体现了算法设计的细致性。
- 扩展性：该算法适用于类似“模运算约束”的其他问题，例如分糖果或分配资源问题。
在实际应用中，动态规划的设计需要仔细分析状态的定义和转移方式，这样才能确保算法的正确性和效率。
