数组重排最小化差值解题思路｜豆包MarsCode AI 刷题2024秋季字节青训营刷题题目：数组重排最小化差值简

数组重排最小化差值

问题描述

小C 和小U 有两个数组，分别是 a 和 b，它们的长度相同。小U 想通过重新排列数组 a 的元素，来最小化 a 和 b 之间的差异。具体来说，他们要最小化所有元素差值绝对值之和，即 sum(abs(a[i] - b[i]))。你能帮助小C 和小U 找到这个最小化的值吗？

测试样例

样例1：

输入：a = [2, 1, 3, 2], b = [5, 2, 4, 2] 输出：5

样例2：

输入：a = [1, 4, 6], b = [2, 5, 7] 输出：3

样例3：

输入：a = [1, 9, 6], b = [2, 5, 7] 输出：4

答案：

     #include <algorithm>
     #include <iostream>
     #include <vector>
     
     using namespace std;
     
     // 求最小化差值的函数
     long long solution(vector<int> a, vector<int> b) {
       // 对两个数组排序
       sort(a.begin(), a.end());
       sort(b.begin(), b.end());
     
       long long result = 0;
       // 计算对应位置的绝对差的和
       for (size_t i = 0; i < a.size(); ++i) {
         result += abs(a[i] - b[i]);
       }
       return result;
     }
     
     int main() {
       vector<int> a1 = {2, 1, 3, 2}, b1 = {5, 2, 4, 2};
       vector<int> a2 = {1, 4, 6}, b2 = {2, 5, 7};
       vector<int> a3 = {1, 9, 6}, b3 = {2, 5, 7};
     
       cout << solution(a1, b1) << endl; // 输出 5
       cout << solution(a2, b2) << endl; // 输出 3
       cout << solution(a3, b3) << endl; // 输出 4
     
       return 0;
     }

解题思路

这个问题要求最小化两个数组的绝对差值之和 sum(abs(a[i] - b[i]))。

解题的关键点在于：

a1:a中的一个数字

b1:b中的一个数字

a1-b1=r1，

同样的操作，得到ri，

对ri进行求和，使得这个和最小。

观察与分析

对于两个数值，如果两者越接近，其绝对差值越小。因此，要最小化 sum(abs(a[i] - b[i]))，最佳策略是尽可能将数组 a 的值与数组 b 的值对齐。
对两个数组排序后，让对应位置的元素相减，绝对差值之和会达到最小。这是因为排序保证了大值和小值的匹配，从而减少极端差值的产生。

是不是有一种感觉，总是感觉有能得到更小的结果的算法？

让我们使用几何角度来证明一下，为什么两个数组都是有序之后，对应相减并相加之后得到的就是最好的结果

假设 a 和 b 是两组点（比如一维坐标轴上的点）。a组点的个数与b组点的个数是一样的。
排序后，直接匹配最接近的点，意味着连接两点的“线段”最短。
如果不排序而任意匹配，则可能出现交叉线段的情况：
- 交叉线段总是比直线段的长度总和更大（类似三角形不等式）。
- 因此，排序并匹配避免了这种“交叉”，从而保证差值最小。

因为在一条轴线上进行作差、连线观察过于不明显，所以在图中使用虚线在轴线上的投影作为数据的差。

算法步骤

排序：将数组 a 和数组 b 都按升序排序。
计算差值和：遍历数组 a 和 b，逐一计算对应元素的绝对差值，并将这些差值累加。

时间复杂度

排序：两个数组排序的复杂度是O(nlog⁡n)，其中 n 是数组的长度。
计算绝对差值：复杂度为O(n)。
总复杂度为 O(nlog⁡n)。

总结一下

1. 理解问题的本质

问题核心：如何最小化两个数组中对应元素的绝对差值之和？
本质上：这是一个数学优化问题，目标是通过合理匹配数组元素，减小“极端差值”的影响，找到全局最优解。

通过对问题的分析，可以发现：

越接近的数值之间匹配，绝对差值越小。
将两个数组排序后逐一匹配是最简单且高效的策略，能够避免复杂的计算和极端情况。

2. 排序匹配的意义

排序匹配的简单高效性令人印象深刻。这种方法不仅直观，而且通过贪心思想和数学证明能够确保全局最优解。
排序后按顺序匹配可以避免“大的值和小的值匹配”的问题，从而显著减少总差值。

3. 数学与算法结合的启发

数学证明保证正确性：通过单调性、三角形不等式等数学工具，理解排序匹配为什么是最优的。这种数学思路可以迁移到其他优化问题。
算法实现保证高效性：排序匹配的时间复杂度是O(nlog⁡n)，能够快速处理大规模数据，实际应用中非常实用。

关于AI刷题

我觉得合理地利用MarsCode进行刷题真的有很大优势，特别是效率和系统性。针对于最小化数组差值这道题来说，MarsCode不仅直接告诉我排序匹配是最优的，还结合了一些证明思路和代码详细讲解了为什么这样做是对的。通过MarsCode的讲解，我能快速理解题目本质，让学习更加深入。MarsCode帮助我从分析问题到实现代码，整个过程变得更加高效和清晰。

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