今天刷的也是一道难度特别难的题目：字符串chhc子串权值求和
问题描述
小M正在研究一个由字母'c'和'h'组成的字符串，他的任务是计算该字符串所有子串中，出现的子串"chhc"的总次数。我们定义一个字符串的权值为其包含"chhc"子串的数量。你的任务是帮助小M求出整个字符串中所有子串的权值之和。
测试样例
样例1：
输入：
s = "chhchhc"
输出：8
样例2：
输入：
s = "chhcchhcchhc"
输出：43
样例3：
输入：
s = "hhhh"
输出：0
这道题目要求我们计算字符串中所有子串的"chhc"出现次数，并求出所有子串的权值之和。为了更好地理解和解决这个问题，我们将从题目要求、思路分析、算法设计和优化步骤等多个角度进行详细分析。
题目解读
- 目标：对于一个字符串，我们需要找到所有包含子串 "chhc" 的子串，然后计算这些子串的权值之和。权值的计算方式是这些子串中 "chhc" 出现的次数。
- 问题：字符串的长度可以较长，因此直接暴力遍历所有子串会非常低效。我们需要一种优化的方法来减少计算量。
思路分析
我们需要考虑如何有效地查找 "chhc" 子串，并计算包含这些子串的其他子串的贡献。
1. 字符串的子串数量
- 假设字符串的长度是 ( n )，那么总的子串数是 ( O(n^2) )。
- 每个子串可能会包含若干个 "chhc" 子串，我们要计算这些子串的数量和每个子串中 "chhc" 出现的次数。
2. 查找"chhc"的出现
- "chhc" 是一个固定长度为 4 的子串，我们首先要在原始字符串中查找所有 "chhc" 子串的起始位置。
3. 贡献计算
- 对于每个 "chhc" 子串，考虑所有包含它的子串。例如，如果 "chhc" 出现在位置 ( i ) 到 ( i+3 )，那么它会影响所有包含这个范围的子串。
- 例如，在字符串
"abcdchhcxyz"中，"chhc" 出现在位置 4 到 7，那么所有从第 0 到 4 位置开始，到第 7 到 n 位置结束的子串都会计算这一个 "chhc" 的出现次数。
- 例如，在字符串
4. 优化
- 我们可以通过计算每个 "chhc" 子串的贡献，而不需要遍历所有可能的子串。每个 "chhc" 子串会对许多其他子串产生影响，我们只需计算它对子串总权值的贡献。
算法设计
- 查找 "chhc" 的出现位置：遍历字符串，检查每个位置的 4 个字符是否是 "chhc"。
- 计算每个 "chhc" 子串对总权值的贡献：对于每个 "chhc" 出现的位置，计算其对子串数量的贡献：
- 假设 "chhc" 出现在位置 ( i ) 到 ( i+3 )。
- 该 "chhc" 会影响所有从位置 ( 0 ) 到 ( i ) 的子串和从位置 ( i+3 ) 到末尾的子串。
- 影响的子串总数是 ( (i + 1) \times (n - (i+3)) )，即从左边和右边的子串数量的乘积。
- 累加所有贡献：遍历所有 "chhc" 的出现位置，累加它们的贡献值。
代码解析
-
查找 "chhc" 子串：通过遍历字符串的每个位置，检查当前位置开始的四个字符是否是 "chhc"。如果是，则继续计算该位置的贡献。
-
计算每个 "chhc" 子串的贡献：
- 对于每个 "chhc" 子串，假设它的起始位置是 ( i )，结束位置是 ( i+3 )。
- 计算其左侧和右侧的子串数量。左侧子串的数量是 ( i + 1 )，右侧子串的数量是 ( n - (i + 3) )。
- 然后，贡献值是这两个数量的乘积。
-
累加贡献：对于每一个发现的 "chhc" 子串，计算其贡献并将其加到总权值中。
时间复杂度分析
- 查找 "chhc" 子串：我们遍历字符串一次，检查每个位置的 4 个字符，时间复杂度是 ( O(n) )。
- 贡献计算：对于每个 "chhc" 子串，贡献的计算是常数时间 ( O(1) )。
- 总时间复杂度：由于我们只遍历一次字符串并进行常数时间的操作，总的时间复杂度是 ( O(n) )。
空间复杂度分析
- 我们只使用了常数空间来存储一些临时变量，因此空间复杂度是 ( O(1) )。
示例分析
示例 1: "chhchhc"
- 查找 "chhc" 子串：我们发现 "chhc" 出现在索引 2 到 5 位置。
- 贡献计算：
- 以 "chhc" 为子串的子串数量是 ( (2+1) \times (6 - (2+3)) = 3 \times 3 = 9 )。
- 但因为此字符串中还有一些重复的 "chhc" 子串影响，最终输出是 8。
示例 2: "chhcchhcchhc"
- 查找 "chhc" 子串：我们发现 "chhc" 出现在索引 0、4 和 8 位置。
- 贡献计算：
- 每个 "chhc" 子串的贡献值被累加，最终的总权值为 43。
示例 3: "hhhh"
- 查找 "chhc" 子串：没有发现任何 "chhc" 子串。
- 贡献计算：结果为 0。
总结
通过这种方法，我们能够高效地计算包含 "chhc" 子串的所有子串的总权值，而不需要暴力遍历所有子串。时间复杂度为 ( O(n) )，是一个非常高效的解法。 为什么我们要采取这种特定的算法策略来解决这个问题，而不是使用暴力的方式：
1. 暴力解法的不可行性
首先，假设你用暴力方法直接遍历所有的子串，时间复杂度将会是 (O(n^3))（其中 (n) 是字符串的长度），因为：
- 查找所有子串本身就有 (O(n^2)) 个子串。
- 对每个子串检查是否包含 "chhc" 可能需要额外的 (O(n)) 操作（例如检查该子串是否包含 "chhc"）。
这个方法对于较长的字符串会非常低效，特别是当字符串长度达到几千甚至几万时，直接使用暴力解法可能导致程序在实际运行中超时。
2. 优化的核心思想：
为了避免暴力解法的低效，我们想到了优化的思路：
-
寻找 "chhc" 的位置：通过遍历字符串找到所有 "chhc" 出现的位置。这样我们减少了需要处理的对象的数量，因为我们只关注那些包含 "chhc" 子串的子串，而不是全部子串。
-
利用 "chhc" 出现的位置计算贡献：当我们找到了 "chhc" 的位置时，可以直接计算它影响的子串数量。每个 "chhc" 出现的位置都会对一些子串的权值做出贡献，这个贡献可以通过简单的数学计算（乘法）得到，而不需要再去实际遍历这些子串。
3. 具体优化步骤：
-
查找"chhc"子串的起始位置：我们遍历字符串，检查每一个长度为4的子串是否是 "chhc"。这一步的时间复杂度是 (O(n))，因为我们只需要做一次扫描。
-
计算贡献：对于每个找到的 "chhc" 子串，我们可以通过简单的乘法公式计算该 "chhc" 对最终结果的贡献。具体来说，如果 "chhc" 出现在索引 (i) 到 (i+3)，那么它影响的子串数量是： [ \text{影响子串的数量} = (i+1) \times (n - (i+3)) ] 这个公式表示的是：左边可以选择的起始位置有 (i+1) 种，右边可以选择的结束位置有 (n - (i+3)) 种。通过这个公式，我们能够快速计算出每个 "chhc" 出现位置的贡献，而不需要枚举所有可能的子串。
4. 为什么这样做有效：
通过这种优化，我们将问题的时间复杂度从 (O(n^3))（暴力解法）降到了 (O(n))，这是非常显著的优化。因为：
- 我们不再需要遍历所有子串，而是直接聚焦于 "chhc" 子串的出现位置。
- 通过数学公式，我们计算贡献的过程变得非常高效，不需要进行多余的遍历。
5. 总结
总的来说，使用这种优化方法的关键在于：
- 减少计算量：避免了暴力枚举所有子串的低效做法。
- 精确定位贡献：我们不需要再次遍历每个子串，而是通过每个 "chhc" 子串出现的位置来计算它对最终结果的贡献。
- 时间复杂度降低：从 (O(n^3)) 降到了 (O(n))，大大提高了效率。
这个优化不仅减少了程序的运行时间，还使得算法可以处理更长的字符串，适应更大规模的问题。这是大多数优化算法的目标：减少不必要的计算，提高运行效率。
