引言：在进行豆包MarsCode AI每日刷题的过程中，我遇到了很多次动态规划问题。因此想要系统地学习一下动态规划方法，下面是我的简略版本学习笔记和一些思考。
一、什么是动态规划？
动态规划与分治算法相似，都是通过将子问题进行组合来求解原问题。但是不同于分治算法会对相同的子问题进行多次重复计算，动态规划因为其独特的存储能力避免了不必要的重复求解子问题。减少了计算工作量。
动态规划通常用于求解最优化问题，获得一个最优解（而不一定是全部最优解）。
二、怎么处理动态规划问题？
通常可以分成四个步骤：
- 定义一个最优解的结构特征
- 定义递归计算最优解的方法（状态转移方法）
- 计算最优解的值
- 利用计算出的信息，构造出一个最优解
具体而言，我们需要着重考虑以下几个问题该如何解决。
2.1什么样的问题可以使用动态规划进行求解？
问题满足最优子结构性质：问题的最优解由相关子问题的最优解组合而成，并且这些子问题可以独立求解。
方法：
- 自顶向下：带备忘录的方法
- 自底向上：设置好子问题的规模由小到大
2.2子问题之间的依赖关系是怎样的？
在动态规划中，子问题之间的依赖关系可以通过子问题图来表示。在这个图中，每个节点代表一个子问题，而有向边则表示子问题之间的依赖关系。如果存在一条从节点 x 指向节点 y 的有向边（x, y），这意味着为了求解子问题 x，我们需要先解决子问题 y。这种图形化的表示方式有助于直观地理解各个子问题之间的关系，特别是在分析时间复杂度和确定计算顺序时。
通常，某个子问题的求解时间与其在子问题图中对应顶点的出度成正比。出度表示的是从该节点出发的边的数量，也就是说，出度越高的子问题在求解时需要依赖的其他子问题越多，因此其求解时间可能会相应增加。这种关系的理解对优化动态规划算法、减少不必要的计算具有重要意义。
2.3如何对变量进行初始化，如何设置状态转移方程?
在动态规划的实施过程中，合理的变量初始化和状态转移方程的设置是至关重要的。变量的初始化需要根据题目的具体条件进行。例如，在解决最短路径问题时，起点的距离通常被初始化为0，而其他点的距离则可能被初始化为无穷大，以表示尚未访问。
状态转移方程的设置同样需要全面考虑题目的条件。状态转移方程定义了如何从已知的子问题解推导出当前子问题的解。设计时应仔细分析题目的约束条件和目标，确保转移方程能够准确反映问题的结构。例如，在背包问题中，状态转移方程可能涉及选择或不选择某个物品，从而影响背包的总价值和容量。
三、还能更简化吗？
在某些特定的题目条件下，我们可以通过优化存储方式来进一步简化动态规划的实现。例如，利用滑动窗口思想，可以减少存储矩阵的维度，仅保留当前计算所需的状态。这种方法不仅节省了存储空间，还提高了计算效率。
此外，在处理某些问题时，可以利用大顶堆或小顶堆来存储动态规划的中间结果，这样可以在保持所需信息的同时，进一步减少内存占用。这些优化策略在实际应用中能够显著提升动态规划算法的性能。
参考文献
《算法导论》
